《备战中考数学复习重难点与压轴题型专项训练》专题03 利用分类讨论思想解决多解题 （解析版）

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备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练
专题 03 利用分类讨论思想解决多解题
【典型例题】
1．（2020·江西九年级三模）在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD= ，点 P 是△ABC
边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．
【答案】3或 或
【分析】
根据直角三角形的性质求出 BC，勾股定理求出 AB，根据直角三角形的性质列式计算即可．
【详解】
解：如图
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=AC= ×8=4，
由勾股定理得，AB=
1
当点 P在AC 上时，∠A=30°，AP=2PD，
∴∠ADP=90°，
则AD2+PD2=AP2，即（3）2=（2PD）2-PD2，
解得，PD=3，
当点 P在AB 上时，AP=2PD，AD=3，
∴PD= ，
当点 P在BC 上时，AP=2PD，
设PD=x，则 AP=2x，
由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，
解得，x=
故答案为：3或 或 .
【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2．
【专题训练】
一、填空题
1．（2020·江西九年级其他模拟）在 Rt△ABC 中，AC=3，BC=4，点 P是斜边 AB 上一点，若△PAC 是等腰三角形，则线段
AP 的长可能为____．
2
【答案】3，2.5或 ．
【分析】
分三种情况讨论，再利用等腰三角形的性质进行计算即可．
【详解】
若△PAC 是等腰三角形，则分以下三种情况：
①PA=AC=3；
②AP=PC 时，则∠A=∠ACP，
∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠B=∠BCP，
∴PC=PB，
∴AP=PB=PC，
∴P为AB 的中点，
∵在 Rt△ABC 中， ，
∴AP=2.5；
3
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