《备战中考数学复习重难点与压轴题型专项训练》专题12 二次函数中的销售最值问题(解析版)

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备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练
专题 12 二次函数中的销售最值问题
【专题训练】
一、解答题
1．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）某书店销售儿童书刊，一天可售出 20 套，每套盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈
利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价 1元，平均每天可多售出 2套，故每套书降价 x元时，书店一
天可获利润 y元．
（1）求 y关于 x的函数解析式（化为一般形式）．
（2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少？
【答案】
解：（1）设每套书降价 x元时，所获利润为 y元，则每天可出售（20+2x）套．
由题意得：y=（40-x）（20+2x）=-2x2+80x-20x+800=-2x2+60x+800．
（2）y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250，
-∵2＜0，
∴当x=15 时，y取得最大值 1250；
即当降价 15 元时，该书店可获得最大利润，最大利润为 1250 元．
【点睛】
此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性
质解题．
2．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）我市某汽车销售商店销售某种型号的新能源汽车，每辆进货价为 15.5万元，市场调
查表明：当销售价为 18 万元时，平均每月能售出 6辆，而当销售价每降低 0.5万元时，平均每月能多售出 2辆，如果设每辆
汽车降价 x万元，这种汽车平均每月的销售利润为 y万元．
1
（1）在保证商家不亏本的前提下，先写出 x的取值范围；再求出 y关于 x的函数关系式；
（2）当每辆这种新能源汽车的定价为多少万元时，平均每月的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】
解：（1）∵每辆进货价为 15.5万元，销售价为 18 万元，
∴自变量的取值范围是：0≤x≤2.5，
y＝（2.5-x）（6+ ×2）
＝（2.5-x）（6+4x）
＝-4x2+4x+15；
（2）当 x= =0.5（属于取值范围 0≤x≤2.5）时，y有最大值，
即每辆这种汽车的定价为：18-0.5＝17.5（万元），
最大利润是 y= =16 万元．
答：每辆这种汽车的定价为 17.5万元时，平均每月的销售利润最大，最大利润是 16 万元．
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，利用利润＝销量×每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式是解题关键．
3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本 50 元，在第一个月的试销时间内发现，
销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如下表：
销售单价（元/千克） …70 75 80 85 …x…
月销售量（千克） …100 90 80 _____ … _____ …
（1）请根据上述关系，完成表格．
2
（2）用含有 x的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；
（3）在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于
90 元；且加上其他费用 3000 元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元，那么第二个月里应该
确定销售单价为多少元?
【答案】
解：（1）由题意可知，销售单价每增加 5元，月销售量下降 10 千克，
，
故答案为：70， ；
（2）设月销售利润为 y，
y＝（x﹣50）•（﹣2x+240）
＝﹣2x2+340x﹣12000，
＝﹣2(x2﹣170x)﹣12000，
＝﹣2(x2﹣170x+7225﹣7225)﹣12000，
＝﹣2（x﹣85）2+14450﹣12000，
＝﹣2（x﹣85）2+2450，
故当 x＝85 时，y的值最大为 2450；
答：月销售利润为﹣2x2+340x﹣12000，月销售利润最大值为 2450；
（3）故第 1个月还有 3000﹣2450＝550 元的投资成本没有收回，
3
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