《初中数学讲义》衔接教材06 根与系数的关系（韦达定理）（解析版）

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2021-2022 新高一初高中衔接辅导课程（解析版）

衔接教材 06 根与系数的关系（韦达定理）

知识点讲解

1.一元二次方程的根

我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

①

因为 a≠0，所以，4a2＞0．于是

（1）当 b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x1，2＝；

（2）当 b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－；

（3）当 b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，

原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由 b2－4ac 来判定，我们把 b2－4ac 叫做一

元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

（1）当 Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝；

（2）当 Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－；

（3）当 Δ＜0时，方程没有实数根．

2.一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，

则有；

．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达

定理．

特别地，对于二次项系数为 1的一元二次方程 x2＋px＋q＝0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，

即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

所以，方程 x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于 x1，x2是一元二次方程 x2＋px＋q＝0的两根，

所以，x1，x2也是一元二次方程 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

3. 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解

题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x1和x2分别是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则

，，

∴| x1－x2|＝．

于是有下面的结论：

若x1和x2分别是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其中 Δ＝b2－4ac）．

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

经典例题解析

例1 判定下列关于 x的方程的根的情况（其中 a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；

（3） x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．

解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式 Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

，．

（3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a

－

2)2，

所以，①当 a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝1；

②当a≠2 时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根

x1＝1，x2＝a

－

1．

（3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1

－

a)，

所以 ① 当 Δ＞0，即 4(1

－

a) ＞0，即 a＜1时，方程有两个不相等的实数根，

；

②当Δ＝0，即 a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；

③当Δ＜0，即 a＞1时，方程没有实数根．

说明：在第 3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需

要对 a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要

的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

例2 已知方程的一个根是 2，求它的另一个根及 k的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k的值，再由方程解出另一个根．但由于

我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常

数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为 5x2－7x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－．

所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．

解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．

由（－）＋2＝－，得 k＝－7．所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．

例3 已知关于 x的方程 x2＋2(m

－

2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积

大21，求 m的值．

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m的方程，从而解得 m

的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m

－

2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，

∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，即 [－2(m

－

2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得 m2－16m－17＝0，

解得 m＝－1，或 m＝17．当 m＝－1时，方程为 x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m＝17 时，方程为 x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m的范围，然后再由

“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m的值，取满足条件的 m的值即可。

（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 Δ是否大于或大于零．

因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。

例4 已知两个数的和为 4，积为－12，求这两个数．

分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一

元二次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是 x，y，

则 x＋y＝4， ①

xy＝－12． ②

由①，得 y＝4－x，代入②，得 x(4－x)＝－12，即 x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．

∴ 或因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程，得 x1＝－2，x2＝6．

所以，这两个数是－2和6．

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．

例5 若x1和x2分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求| x1－x2|的值；

（2）求的值；

（3）x13＋x23．

解：∵x1和x2分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0的两根，∴ ，．

（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝＝＋6＝，

∴| x1－x2|＝．

（2）．

（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]

＝(－)×[(－)2－3×( )]＝－．

例6 若关于 x的一元二次方程 x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数 a的取值范围．

解：设x1，x2是方程的两根，则

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