《九年级数学讲义上海专用》专题13 二次函数（解答题24题压轴题）（解析版）

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2020 年上海市 16 区中考数学一模汇编
专题 13 二次函数（解答题 24 题压轴题）
1.（黄浦区）已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点
A、B（点 A在点 B的左侧），且 AB=6.
（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；
（2）在 y轴上取点 E（0,2），点 F为第一象限内抛物线上一点，联结 BF、EF，如果 ，
求点 F的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，点 F在抛物线对称轴右侧，点 P在 轴上且在点 B左侧，如果直线 PF
与y轴的夹角等于∠EBF，求点 P的坐标.
【整体分析】
（1）先将抛物线表达式化为顶点式，得出对称轴 x=1,再根据抛物线与 x轴两交点的距离为 6，可以得
出A,B 两点的坐标，进而可求出解析式.
（2）利用 S四边形 OEFB=S△OEF+S△OBF 列方程求解.
（3）找出两等角所在的三角形，构造一组相似三角形求解.
【满分解答】
解：（1）将 化为一般式得，
，
∴这条抛物线的对称轴为 x=1.
又抛物线与 轴交于点 A、B（点 A在点 B的左侧），且 AB=6，
1
∴根据对称性可得 A,B 两点的坐标分别为 A(-2，0),B(4，0).
将A点坐标代入解析式，可解得 m=
,
∴所求抛物线的解析式为 .
（2）设点 F的坐标为（t, t2+t+4），如图 1可知
S四边形 OEFB=S△OEF+S△OBF
= ×2×t+ ×4×（t2+t+4）=10，
解得，t=1 或t=2,
∴点 F的坐标为 或 .
（3）假设直线 PF 与y轴交于点 H,抛物线与 y轴交于点 C,连接 CF，
则根据题意得∠FHC=∠EBF,
由（2）得点 F的坐标为(2,4)，又点 C坐标为(0,4),
∴CF∥x轴，
过点 F作FG⊥BE 于点 G，
有△CFH∽△GFB.
2
在△BEF 中，根据已知点坐标可以求得 BE=BF=2 ，EF=2 ，
根据面积法可求得 FG= ,∴BG=
设直线 FP 的解释式为 y=kx+b,则OH=b,
∴CH=4-b,
∴
∴ 解得 b= .
将点 F的坐标（2,4）代入 FP 的解析式可得，k= ,
即FP 的解析式为 y= x+ ,
令y=0,可得 P点坐标为（-1,0）.
【点睛】此题属于二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图像与性质是关键与基础，另外涉及面积问
题注意运用割补法；对于角度相等的存在性问题一般通过转化为相似来解决.
2.（杨浦区）已知：在平面直角坐标系 xOy 中，对称轴为直线 x = -2 的抛物线经过点 C(0，2)，与 x轴
交于 A(-3，0)、B两点(点A在点 B的左侧).
(1)求这条抛物线的表达式.
(2)连接 BC，求∠BCO 的余切值.
(3)如果过点 C的直线，交 x轴于点 E，交抛物线于点 P，且∠CEO =∠BCO，求点 P的坐标.
3
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