《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训19 一元二次方程的应用：动点问题（解析版）

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计算力专训十九、一元二次方程的应用：动点问题
牛刀小试
1．（2020·重庆）如图，在 中， ， ， ，点 P从点 A开始沿 AC边
向点 C以 的速度匀速移动，同时另一点 Q由C点开始以 的速度沿着射线 CB 匀速移动，当
的面积等于 运动时间为 　　
A．5秒B．20 秒C．5秒或 20 秒D．不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
【详解】
由题意得：AP=2t，CQ=3t，∴PC=50 2﹣t，∴•PC•CQ=300，∴•（50 2﹣t•）3t=300，解得：t=20 或
5，∴t=20s或5s时，△PCQ 的面积为 300m2．
故选 C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础
题，中考常考题型．
2．（2020·全国课时练习）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点 P，Q分别从点
A，B同时开始移动，点 P的速度为 1cm/秒，点 Q的速度为 2cm/秒，点 Q移动到点 C后停止，点 P也随之
停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为 15cm2的是 （ ）
1
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【答案】B
【解析】
【详解】
解：设动点 P，Q运动 t秒后，能使△PBQ 的面积为 15cm2，则 BP 为（8﹣t）cm，BQ 为2tcm，由三角形
的面积计算公式列方程得：×（8﹣t）×2t=15，解得 t1=3，t2=5（当 t=5 时，BQ=10，不合题意，舍去）．
故当动点 P，Q运动 3秒时，能使△PBQ 的面积为 15cm2．
故选 B．
【点睛】
此题考查借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
3．（2020·淮南市龙湖中学月考）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点 P从点 A开始沿
AB 边向点 B以1cm/s 的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以2cm/s 的速度移动．
（1）如果 P，Q分别从 A，B同时出发，经过几秒后，△PBQ 的面积等于 4cm2？
（2）如果 P，Q分别从 A，B同时出发，经过几秒后，PQ 的长度等于 cm？
（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于 7cm2？说明理由．
【答案】（1）1秒或 秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】
2
（1）经过 x秒钟，△PBQ 的面积等于 4cm2，根据点 P从A点开始沿 AB 边向点 B以1cm/s 的速度移动，
点Q从B点开始沿 BC 边向点 C以2cm/s 的速度移动，表示出 BP 和BQ 的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）令 S△PQB=7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据 b2-4ac 得出原方程没有实数根，从而得出
△PQB 的面积不能等于 7cm2．
【详解】
解：（1）设经过 x秒以后△PBQ 面积为 4cm2，根据题意得 ，
整理得：x2-5x+4=0，
解得：x=1 或x=4（舍去）；
或 ，
解得：x= ，
答：1秒或 秒后△PBQ 的面积等于 4cm2；
（2）PQ= ，则 PQ2=BP2+BQ2，即 40=（5-t）2+（2t）2，
解得：t=-1（舍去）或 3．
则3秒后，PQ 的长度为 cm；
（3）令 S△PQB=7，即 BP× =7，（5-t）× =7，
整理得：t2-5t+7=0，
由于 b2-4ac=25-28=-7＜0，
则原方程没有实数根；
或Q到C了，P还在运动，（5-t）×7÷2=7，
解得 t=3（舍去）．
3
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