《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训三十五、二次函数与几何综合：其他类型最值问题 解析版

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计算力专训三十五、二次函数与几何综合：其他类型最值问题
牛刀小试
1．（2020·内蒙古乌兰浩特·初三一模）一次函数 y=kx+4与二次函数 y=ax2+c的图像的一个交点坐标为
（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求 k，a，c的值；
（2）过点 A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于 y轴的直线与二次函数 y=ax2+c的图像相交于 B，C两点，点
O为坐标原点，记 W=OA2+BC2，求 W关于 m的函数解析式，并求 W的最小值.
【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）, W取得最小值 7.
【解析】
【分析】
（1）把（1,2）分别代入 y=kx+4 和y=ax2+c，得 k+4=-2 和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为
（0,4），可得 c=4，然后计算得到 a的值；
（2）由 A（0，m）（0＜m＜4）可得 OA=m，令 y=-2x2+4=m，求出 B，C坐标，进而表示出 BC 长度，将
OA，BC 代入 W=OA2+BC2中得到 W关于 m的函数解析式，求出最小值即可.
【详解】
解：（1）由题意得，k+4=2，解得 k=-2，
∴一次函数解析式为：y=-2x+4
又二次函数顶点横坐标为 0，
∴顶点坐标为（0,4）
∴c=4
1
把（1,2）带入二次函数表达式得 a+c=2，解得 a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为 y=-2x2+4，令 y=m，得 2x2+m-4=0
∴ ，设 B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则 ，
∴W=OA2+BC2=
∴当 m=1 时，W取得最小值 7
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化
为求一元二次方程的解，得到 B，C坐标是解题的关键.
2．（2020·浙江余杭·初三月考）若二次函数 与 均有最最小值，记 ，
的最小值分别为 ， ．
（1）若 ， ，求 ， 的值．
（2）若 ，求证：对任意的实数 ，都有 ．
（3）若 ， 均大于 0，且 ，记 为 ， 中的较大者，求 的最小值．
【答案】（1）m＝0，n＝0；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意直接利用配方法进行配方，进而即可分别求出 ， 的值；
2
（2）根据题意 y1、y2的最小值分别为 m、n，可得 y1＋y2≥m＋n，进而即可求证；
（3）根据题意利用配方法进行配方，用含 a、b的代数式分别表示出 m、n，进而根据 ， 均大于 0，且
，进行分析运算即可．
【详解】
解：（1）∵y1＝4x2＋4x＋1＝（2x ＋1）2≥0，
m∴＝0
y∵2＝x2＋4x＋4＝（x ＋2）2≥0，
n∴＝0；
（2）∵二次函数 y1＝ax2＋4x＋b与y2＝bx2＋4x＋a都有最小值，y1、y2的最小值分别为 m、n，
y∴1＋y2≥m＋n，
m∵＋n＝0，
y∴1＋y2≥0；
（3）∵y1＝ax2＋4x＋b＝a（x＋ ）2＋ ，
m∴＝ ，
y∵2＝bx2＋4x＋a＝b（x＋ ）2＋ ，
n∴＝ ，
mn∵＝2，m，n均大于 0，
3
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