《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训三十三、二次函数与几何综合：面积最值 解析版

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计算力专训三十三、二次函数与几何综合：面积最值
牛刀小试
1．（2020·黑龙江讷河·月考）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 在点 的左边，与 轴交于点
，点 是抛物线的顶点，且 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是直线 下方的抛物线上一动点，不与点 ， 重合，过点 作 轴的垂线交 于点 ，
求 面积的最大值及此时 点坐标；
【答案】（1）y＝x2＋2x－6；（2）S△ACP 有最大值 ，点 P的坐标是（－3，－ ）；
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式是 y＝a（x＋2）2－8，把 A（－6，0）代入即可求出解析式；
（2）先求出点 C（0，－6），设点 P（m，m2＋2m－6），设直线 AC 的解析式是 y＝kx＋b，解得直线
1
AC 的解析式是 y＝－x－6，得到 E（m，－m－6），PE＝－ m2－3m，利用 S△ACP＝S△AEP＋S△CEP
，即可得到答案；
【详解】
（1）设抛物线的解析式是 y＝a（x＋2）2－8，把 A（－6，0）代入得 a（－6＋2）2－8＝0，解得 a＝ ，
∴y＝ （x＋2）2－8＝x2＋2x－6；
（2）解：当 x＝0时，y＝－6，∴C（0，－6），
设点 P（m，m2＋2m－6），
设直线 AC 的解析式是 y＝kx＋b，
把A（－6，0），C（0，－6）代入得
，解得
∴直线 AC 的解析式是 y＝－x－6，
∵PE⊥x轴交 AC 于E，
∴E（m，－m－6），
∴PE＝－m－6－（ m2＋2m－6）＝－ m2－3m（－6＜m＜0），
∵S△ACP＝S△AEP＋S△CEP＝= ,
2
∴当 m＝－3时，S△ACP 有最大值，最大值为 ，
此时点 P的坐标是（－3，－ ）；
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数与几何图形面积问题，勾股定理，直角
三角形与函数图象的结合问题，正确理解题意根据题意画出图形解答是关键.
2．（2019·江苏东台市实验中学期中）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x轴交于 A、B两点，
其中 A点坐标为（－1，0），点 B（5，0），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB 的面积．
【答案】（1）y=-x2+4x+5；（2）△MCB 的面积为 15．
【解析】
3
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