《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题02 固定边的等腰三角形与二次函数问题(解析版)

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专题 02 固定边的等腰三角形与二次函数问题
1、如图 1，已知抛物线 y=﹣x2﹣4x+5 交 x 轴于点 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，点 D 为
抛物线的顶点，连接 AD．
（1）求直线 AD 的解析式．
（2）点 E（m，0）、F（m+1，0）为 x 轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于 y 轴，交
抛物线于点 E′和 F′，交 AD 于点 M、N，当 ME′+NF′的值最大时，在 y 轴上找一点 R，使得|RE′﹣RF′|
值最大，请求出点 R 的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．
（3）如图 2，在抛物线上是否存在点 P，使得△PAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，若存在，请出点 P 的坐
标及△PAC 的面积，若不存在，请说明理由。
【答案】（1）y=3x+15；（2）点 R 的坐标是（0，17），最大值为
√
10
；（3）存在，P（
−3−
√
29
2,3+
√
29
2
），P′（
−3−
√
29
2,3−
√
29
2
），面积为
5
√
29+10
2
【解析】（1）如图 1，∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+5）（x﹣1）或 y=﹣（x+2）2+9，
∴A（﹣5，0），B（1，0），D（﹣2，9）．
设直线 AD 的解析式为：y=kx+b（k≠0），把 A、D 的坐标代入，得
，
1
解得 ．
故直线 AD 的解析式为：y=3x+15；
（2）如图 1，∵EE′∥y 轴，FF′∥y 轴，E（m，0）、F（m+1，0），
∴E（m，﹣m2﹣4m+5）、F（m+1，﹣（m+1）2﹣
4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），
∴ME′=﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）=﹣m2﹣7m﹣10，NF′=﹣m2﹣9m﹣18，
∴ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18=2m2﹣16m﹣28．
∵﹣2＜0，
∴m=﹣ =﹣4，
∴ME′+NF′有最大值，此时 E′（﹣4，5），F′（﹣3，8），
要使|RE′﹣RF′|值最大，则点 E′、F′、R 三点在一条直线上，
∴设直线 E′F′：y=kx+b（k≠0），则
，
解得 ，
∴直线 E′F′：y=3x+17（k≠0）．
2
当 x=0 时，y=17，则点 R 的坐标是（0，17）．
此时，|RE′﹣RF′|的最大值为 = ；
（3）如图 2，设点 P（x，﹣x2﹣4x+5）．
当 PA=PC 时，点 P 在线段 AC 的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴点 O 在线段 AC 的垂直平分线上，
∴点 P 在∠AOC 的角平分线上，
∴﹣x=﹣x2﹣4x+5，
解得 x1= ，x2= ，
∴P（ ， ），P′（ ， ）．
∴PH=OP﹣OH= ，P′H=OP′+OH= ，
∴S△PAC= AC•PH= ×5 × = 或 S△PAC= AC•P′H= ×5 × =
．
2、已知一次函数 的图象与二次函数 的图象相交于 和 ，点 是线段
上的动点（不与 重合），过点 作 轴，与二次函数 的图象交于点 ．
（1）求 的值；
（2）求线段 长的最大值；
3
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