《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题18 圆中的三角形相似问题(解析版)

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专题 18 圆中的三角形相似问题

1、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O的直径，AC 平分∠BAD，过 C点作 CE⊥AD 延长线于 E点．

（1）求证：CE 是⊙O的切线；

（2）若 AB＝10，AC＝8，求 AD 的长．

解：（1）连接 OC，

∵OC＝OA，

∴∠OAC＝∠OCA，

又∵AC 平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，

∴OC∥AE，

∵CE⊥AD，

即可得 OC⊥CE，

∴CE 是⊙O的切线；

（2）∵AB 是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴BC＝＝＝6，

∵∠BAC＝∠DAC，

∴＝，

∴BC＝CD＝6，

延长 BC 交AE 的延长线于 F，

∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，

∴△ACB≌△ACF（ASA），

∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，

∵∠ CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，

∴∠CDF＝∠ABF，[来源:Zxxk.Com]

∵∠CFD＝∠AFB，

∴△CFD∽△AF B，

∴＝，

∴AD＝．

2、如图，△AOB 中，A（﹣8，0），B（0，），AC 平分∠OAB，交 y轴于点 C，点 P是x轴上一点，

⊙P经过点 A、C，与 x轴交于点 D，过点 C作CE⊥AB，垂足为 E，EC 的延长线交 x轴于点 F．

（1）求证：EF 为⊙P的切线；

（2）求⊙P的半径．

（1）证明：连接 CP，

∵AP＝CP，

∴∠PAC＝∠PCA，

∵AC 平分∠OAB，

∴∠PAC＝∠EAC，

∴∠PCA＝∠EAC，

∴PC∥AE，

∵CE⊥AB，

∴CP⊥EF，

即EF 是⊙P的切线；

（2）∵AC 平分∠OAB，

∴∠BAC＝∠OAC，

∵PA＝PC，

∴∠PCA＝∠PAC，

∴∠BAC＝∠ACP，

∴PC∥AB，

∴△OPC∽△OAB，

∴＝，

∵A（﹣8，0），B（0，），

∴OA＝8，OB＝，

∴AB＝，

∴＝，

∴PC＝5，

∴⊙P的半径为 5．

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