《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题23 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题(解析版)

3.0 envi 2025-02-08 39 4 951.66KB 31 页 3知币
侵权投诉
专题 23 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题
1、如图，在直角坐标系中，直线 y=﹣
1
3
x 1﹣ 与 x轴，y轴的交点分别为 A、B，以 x= 1﹣ 为对称轴的抛物
线y=x2+bx+c 与x轴分别交于点 A、C，直线 x= 1﹣ 与 x轴交于点 D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段 AB 上是否存在一点 P，使以 A，D，P为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点 P的
坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点 Q在第三象限内，且 tan AQD=2∠，线段 CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果
不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+2x 3﹣ ；（2）存在；点 P坐标为（﹣1，
−2
3
）或（-
6
5
，-
3
5
）；
（3）存在，CQ 最小值为
√
37 −
√
5
2
.
【解析】（1）∵直线 y=﹣
1
3
x 1﹣ 与 x轴交于 A点，
∴点A坐标为（﹣3，0），[来源:学&科&网]
又∵直线 x= 1﹣ 为对称轴，
∴点C坐标为（1，0），
∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x 1﹣ ）=x2+2x 3﹣ ；
（2）存在；
由已知，点 D坐标为（﹣1，0），点 B坐标为（0，﹣1），
设点 P的坐标为（a，﹣
1
3
a 1﹣ ），
① 当△AOB ADP∽△ 时，
1
AD
AO =DP
OB
，即
，
解得：a= 1﹣ ；
点P坐标为（﹣1，
−2
3
）；
② 当△AOB APD∽△ 时，
过点 P作PE x⊥轴于点 E，
则△APE PED∽△ ，
PE∴2=AE•ED，
∴（﹣
1
3
a 1﹣ ）2=（a+3）（﹣a 1﹣ ），
解得 a1= 3﹣ （舍去），a2=﹣
6
5
，
∴点P坐标为（﹣
6
5
，﹣
3
5
）；
（3）存在，CQ 最小值为
√
37 −
√
5
2
；
如图，取点 F（﹣1，﹣1），过点 ADF 作圆，则点 E（﹣2，﹣
1
2
）为圆心，
tan AFD=2∵ ∠ ，
∴弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的 Q点，
则连 CE 交⊙E于点 Q，则 CQ 为满足条件的最小值，
此时 CE=
√
(
1
2
)
2
+32=
√
37
2
，
E∵⊙ 半径为
√
5
2
，
2
CQ∴最小值为
√
37 −
√
5
2
.
2、如图，直线 y=﹣
3
4
x+3 与x轴交于点 A，与 y轴交于点 B．抛物线 y=﹣
3
8
x2+bx+c 经过 A、B两点，与 x
轴的另一个交点为 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P是第一象限抛物线上的点，连接 OP 交直线 AB 于点 Q．设点 P的横坐标为 m，PQ 与OQ 的比值
为y，求 y与m的关系式，并求出 PQ 与OQ 的比值的最大值；
（3）点 D是抛物线对称轴上的一动点，连接 OD、CD，设△ODC 外接圆的圆心为 M，当 sin ODC∠的值
最大时，求点 M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣
3
8
x2+
3
4
x+3；（2）y=﹣
1
8
m2+
1
2
m，PQ 与OQ 的比值的最大值为
1
2
；
（3）点 M的坐标为（﹣1，
√
3
）或（﹣1，﹣
√
3
）．
【解析】（1）在 y=﹣
3
4
x+3 中，令 y=0 得x=4，令 x=0 得y=3，
∴点A（4，0）、B（0，3），
把A（4，0）、B（0，3）代入 y=﹣
3
8
x2+bx+c，得：
¿
，
解得：
¿
，
∴抛物线解析式为 y=﹣
3
8
x2+
3
4
x+3；
（2）如图 1，过点 P作y轴的平行线交 AB 于点 E，
3
《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题23 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题(解析版).docx

共31页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：初中 价格：3知币 属性：31 页 大小：951.66KB 格式：DOCX 时间：2025-02-08

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 31
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注