《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题21 圆性质在二次函数中的综合问题(解析版)

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专题 21 圆性质在二次函数中的综合问题
1、已知抛物线 y＝x2+mx 2﹣m4﹣ （m＞0）．
（1）证明：该抛物线与 x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与 x轴的两个交点分别为 A，B（点 A在点 B的右侧），与 y轴交于点 C，A，B，C三点
都在⊙P上．
①试判断：不论 m取任何正数，⊙P是否经过 y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明
理由；
②若点C关于直线 x
¿−m
2
的对称点为点 E，点 D（0，1），连接 BE，BD，DE，△BDE 的周长记为
l，⊙P的半径记为 r，求
l
r
的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①定点 F的坐标为（0，1）；②
10+6
√
5
5
．
【解析】
（1）令 y＝0，则 x2+mx 2m 4﹣ ﹣ ＝0，
∴△＝m2 4[ 2m 4]﹣ ﹣ ﹣ ＝m2+8m+16，
m∵＞0，
∴△＞0，
∴该抛物线与 x轴总有两个不同的交点；
（2）令 y＝0，则 x2+mx 2m 4﹣ ﹣ ＝0，
∴（x 2﹣ ）[x+（m+2）]＝0，
x∴ ＝2或x＝﹣（m+2），
A∴ （2，0），B（﹣（m+2），0），
OA∴ ＝2，OB＝m+2，
令x＝0，则 y＝﹣2（m+2），
C∴ （0，﹣2（m+2）），
OC∴ ＝2（m+2），
① 通过定点（0，1）理由：如图，
1
∵点A，B，C在⊙P上，
OCB∴∠ ＝∠OAF，
在Rt BOC△ 中，tan OCB∠
¿OB
OC =m+2
2（m+2）=1
2
，
在Rt AOF△ 中，tan OAF∠
¿OF
OA =OF
2=1
2
，
OF∴ ＝1，
∴点 F的坐标为（0，1）；
②如图1，
由①知，点 F（0，1）．
D∵（0，1），
∴点 D在⊙P上，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∵点E是点 C关于抛物线的对称轴的对称点，
DCE∴∠ ＝90°，
DE∴ 是⊙P的直径，
DBE∴∠ ＝90°，
BED∵∠ ＝∠OCB，
tan BED∴ ∠
¿1
2
，
2
设BD＝n，在 Rt BDE△ 中，tan BED∠
，
BE∴ ＝2n，根据勾股定理得：DE
¿
√
B D2+B E2=
√
5
n，
l∴ ＝BD+BE+DE＝（3
+
√
5
）n，r
¿1
2
DE
¿
√
5
2
n，
∴
l
r=（3+
√
5）n
√
5
2n
=10+6
√
5
5
．
2、如图①，已知抛物线 的顶点为点 P，与 y轴交于点 B．点 A坐标为（3，2）．点 M
为抛物线上一动点，以点 M为圆心，MA 为半径的圆交 x轴于 C，D两点（点 C在点 D的左侧）．
（1）如图②，当点 M与点 B重合时，求 CD 的长；
（2）当点 M在抛物线上运动时，CD 的长度是否发生变化？若变化，求出 CD 关于点 M横坐标 x的函数关
系式；若不发生变化，求出 CD 的长；
（3）当△ACP 与△ADP 相似时，求出点 C的坐标．
【答案】（1） CD=4；（2）不发生变化，CD=4；（3）点 C坐标为：（1,0）， ，
【解析】
（1）如图：连结 BC，BD，
3
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