《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题16 圆中的弧长综合问题(解析版)

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专题 16 圆中的弧长综合问题
1、如图，
AB
为⊙
O
的直径，点
C
、
D
在⊙
O
上，且点
C
是 的中点，过点
C
作
AD
的垂线
EF
交直线
AD
于点
E
．
（1）求证：
EF
是⊙
O
的切线．
（2）若∠
CAB
＝36°，⊙
O
的半径为 12，求 的长．
（1）证明：连接
OC
，
∵
OA
＝
OC
，
∴∠
OCA
＝∠
BAC
，
∵点
C
是 的中点，
∴∠
EAC
＝∠
BAC
，
∴∠
EAC
＝∠
OCA
，
∴
OC
∥
AE
，
∵
AE
⊥
EF
，
∴
OC
⊥
EF
，即
EF
是⊙
O
的切线；
（2）连接
OD
，
∵∠
BOC
＝2∠
CAB
＝2×36°＝72°，
∵ ，
∴∠
BOD
＝2∠
BOC
＝144°，
∴ 的长＝ ＝ π．
1
2、如图，在 Rt△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，以
BC
为直径的⊙
O
交
AB
于点
D
，
E
是
AC
的中点，
OE
交
CD
于点
F
.
（1）若∠
BCD
＝36°，
BC
＝10，求BD的长；
（2）判断直线
DE
与⊙
O
的位置关系，并说明理由；
（3）求证：2
CE
2＝
AB
·
EF
.
（1）解：如解图，连接
OD
，
第 6 题解图
∵∠
BCD
＝36°，
∴∠
BOD
＝2∠
BCD
＝2×36°＝72°，
∵
BC
是⊙
O
的直径，
BC
＝10，
∴
OB
＝5，
∴
l
BD＝＝2π；
（2）解：
DE
是⊙
O
的切线；理由如下：
∵
BC
是⊙
O
的直径，
∴∠
ADC
＝180°－∠
BDC
＝90°，
又∵点
E
是线段
AC
中点，
∴
DE
＝
AC
＝
EC
，
在△
DOE
与△
COE
中，
，
∴△
DOE
≌△
COE
(SSS)．
2
∵∠
ACB
＝90°，
∴∠
ODE
＝∠
OCE
＝90°，
∵
OD
是⊙
O
的半径，
∴
DE
是⊙
O
的切线；
（3）证明：由（2）知，△
DOE
≌ △
COE
，
∴
OE
是线段
CD
的垂直平分线，
∴点
F
是线段
CD
中点，
∵点
E
是线段
AC
中点，则
EF
＝
AD
，
∵∠
BAC
＝∠
CAD
，∠
ADC
＝∠
ACB
，
∴△
ACD
∽△
ABC
，
则＝，即
AC
2＝
AB
·
AD
，
而
AC
＝2
CE
，
AD
＝2
EF
，
∴(2
CE
)2＝
AB
·2
EF
，
即 4
CE
2＝
AB
·2
EF
，
∴2
CE
2＝
AB
·
EF
.
3、如图，⊙
O
的直径
AB
＝4，
C
为⊙
O
上一点，
AC
＝2.过点
C
作⊙
O
的切线
DC
，
P
点为优弧
CBA
上一动点(不
与
A
、
C
重合)．
(1)求∠
APC
与∠
ACD
的度数；
(2)当点
P
移动到劣弧
CB
的中点时，求证：四边形
OBPC
是菱形；
(3)当
PC
为⊙
O
的直径时，求证：△
APC
与△
ABC
全等．
(1)解：∵
AC
＝2，
OA
＝
OB
＝
OC
＝
AB
＝2，
∴
AC
＝
OA
＝
OC
，
∴△
ACO
为等边三角形，
∴∠
AOC
＝∠
ACO
＝∠
OAC
＝60°，
∴∠
APC
＝∠
AOC
＝30°，
又∵
DC
与⊙
O
相切于点
C
，
3
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