《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题14 圆中的存在性综合问题(原卷版)

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专题 14 圆中的存在性综合问题

1、如图，AB、CD 是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点 E，且 AE＝CE，点 F是BC 的中点，延长 FE 交

AD 于点 G，已知 AE＝1，BE＝3，OE＝．

（1）求证：△AED≌△CEB；

（2）求证：FG⊥AD；

（3）若一条直线 l到圆心 O的距离 d＝，试判断直线 l是否是圆 O的切线，并说明理由．

2、如图，直径为 10 的⊙O经过原点 O，并且与 x轴、y轴分别交于 A、B两点，线段 OA、OB（OA＞OB）

的长分别是方程 x2+kx+48＝0的两根．

（1）求线段 OA、OB 的长；

（2）已知点 C在劣弧 OA 上，连结 BC 交OA 于D，当 OC2＝CD•CB 时，求 C点的坐标；

（3）在⊙O上是否存在点 P，使 S△POD＝S△ABD？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，B，E是⊙O上的两个定点，A为优弧 BE 上的动点，过点 B作BC⊥AB 交射线 AE 于点 C，过点

C作CF⊥BC，点 D在C F 上，且∠EBD＝∠A．

[来源:学科网 ZXXK]

（1）求证：BD 与⊙O相切；

（2）已知∠A＝30°．

①若BE＝3，求 BD 的长；

②当O，C两点间的距离最短时，判断 A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．

4、如图，⊙O是△ABC 的外接圆，过点 A、B两点分别作⊙O的切线 PA、PB 交于一点 P，连接 OP

（1）求证：∠APO＝∠BPO；

（2）若∠C＝60°，AB＝6，点 Q是⊙O上的一动点，求 PQ 的最大值．

5、如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 沿直线 AB 翻折得到△ABD，连接 CD 交AB 于点 M．E是

线段 CM 上的点，连接 BE．F是△BDE 的外接圆与 AD 的另一个交点，连接 EF，BF．

（1）求证：△BEF 是直角三角形；

（2）求证：△BEF∽△BCA；[来源:学。科。网]

（3）当 AB＝6，BC＝m时，在线段 CM 上存在点 E，使得 EF 和AB 互相平分，求 m的值．

6、（1）如图，∠ABC 是⊙O的圆周角，BC 为⊙O直径，BD 平分∠ABC 交⊙O于点 D，CD＝3，BD＝

4，则点 D到直线 AB 的距离是　　

（2）如图，∠ABC 是⊙O的圆周角，BC 为⊙O的弦，BD 平分∠ABC 交⊙O于点 D，过点 D作

DE⊥BC，垂足为 E（E在B、C之间，且不与 B、C重合）．探索线段 AB、BE、BC 之间的数量关系，

并说明理由．[来源:Z+xx+k.Com]

（3）如图，四边形 ABCD 为⊙O的内接四边形，∠ABC＝90°，∠BCD 为锐角．BD 平分∠ABC，BD＝

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