《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题14 圆中的存在性综合问题(解析版)

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专题 14 圆中的存在性综合问题

1、如图，AB、CD 是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点 E，且 AE＝CE，点 F是BC 的中点，延长 FE 交

AD 于点 G，已知 AE＝1，BE＝3，OE＝．

（1）求证：△AED≌△CEB；

（2）求证：FG⊥AD；

（3）若一条直线 l到圆心 O的距离 d＝，试判断直线 l是否是圆 O的切线，并说明理由．

（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，

在△AED 和△CEB 中，，

∴△AED≌△CEB（ASA）；

（2）证明：∵AB⊥CD，

∴∠AED＝∠CEB＝90°，

∴∠C+∠B＝90°，

∵点F是BC 的中点，

∴EF＝BC＝BF，

∴∠FEB＝∠B，

∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，

∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，

∴∠AGE＝90°，

∴FG⊥AD；

（3）解：直线 l是圆 O的切线，理由如下：

作OH⊥AB 于H，连接 OB，如图所示：

∵AE＝1，BE＝3，

∴AB＝AE+BE＝4，

∵OH⊥AB，

∴AH＝BH＝AB＝2，

∴EH＝AH﹣AE＝1，

∴OH＝＝＝1，

∴OB＝＝＝，

即⊙O的半径为，

∵一条直线 l到圆心 O的距离 d＝＝⊙O的半径，

∴直线 l是圆 O的切线．[来源:学。科。网]

2、如图，直径为 10 的⊙O经过原点 O，并且与 x轴、y轴分别交于 A、B两点，线段 OA、OB（OA＞OB）

的长分别是方程 x2+kx+48＝0的两根．

（1）求线段 OA、OB 的长；

（2）已知点 C在劣弧 OA 上，连结 BC 交OA 于D，当 OC2＝CD•CB 时，求 C点的坐标；

（3）在⊙O上是否存在点 P，使 S△POD＝S△ABD？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）连接 AB，

∵∠BOA＝90°，

∴AB 为直径，根与系数关系得 OA+OB＝﹣k，OA×OB＝48；

根据勾股定理，得 OA2+OB2＝100，

即（OA+OB）22﹣OA×OB＝100，

解得：k2＝196，

∴k＝±14（正值舍去）．

则有方程 x214﹣x+48＝0，

解得：x＝6或8．

又∵OA＞OB，

∴OA＝8，OB＝6；

（2）若 OC2＝CD×CB，则△OCB∽△DCO，

∴∠COD＝∠CBO，

又∵∠COD＝∠CBA，

∴∠CBO＝∠CBA，

所以点 C是弧 OA 的中点．

连接 O′C交OA 于点 D，根据垂径定理的推论，得 O′C⊥OA，

根据垂径定理，得 OD＝4，

根据勾股定理，得 O′D＝3，

故CD＝2，即 C（4，﹣2）；

（3）设直线 BC 的解析式是 y＝kx+b，把 B（0，6），C（4，﹣2）代入得：

，

解得：．

则直线 BC 的解析式是：y＝﹣2x+6，

令y＝0，

解得：x＝3，

则OD＝3，AD＝8 3﹣＝5，

故S△ABD＝×5×6＝15．

若S△ABD＝S△OBD，P到x轴的距离是 h，

则×3h＝15，解得：h＝10．

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