《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题10 圆中的线段长度问题(解析版)

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专题 10 几何证明之圆中的线段长度问题
1、如图所示，已知 A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），P是△AOB 外接圆⊙C上的一点，
OP 交AB 于点 D．
（1）当 OP⊥AB 时，求 OP；
（2）当∠AOP＝30°时，求 AP．
解：（1）∵A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），
∴AO＝2，OB＝10，
∵AO⊥BO，
∴AB＝ ＝4，
∵OP⊥AB，
∴＝ ，CD＝DP，
∴CD＝ ，
∴OP＝2CD＝ ；
（2）连接 CP，
∵∠AOP＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∵CP＝CA，
∴△ACP 为等边三角形，
∴AP＝AC＝AB＝2．
1
2、如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D为BC 边的中点，以 AD 为直径作⊙O，分别与 AB，AC 交于
点E，F，过点 E作EG⊥BC 于G．
（1）求证：EG 是⊙O的切线；
（2）若 AF＝6，⊙O的半径为 5，求 BE 的长．
（1）证明：如图，连接 EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF 是⊙O的直径，
∴OA＝OE，
∴∠BAD＝∠AEO，
∵点D是Rt△ABC 的斜边 BC 的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG 是⊙O的切线；
2
（2）∵⊙O的半径为 5，
∴EF＝2OE＝10，
在Rt△AEF 中，AF＝6，
根据勾股定理得，AE＝ ＝8，
由（1）知 OE∥BC，
∵OA＝OD，
∴BE＝AE＝8．
3、如图，已知 AB 是⊙O的直径，AB＝4，点 C是AB 延长线上一点，且 BC＝2，点 D是半圆的中点，点 P
是⊙O上任意一点．
（1）当 PD 与AB 交于点 E且PC＝CE 时，求证：PC 与⊙O相切；
（2）在（1）的条件下，求 PC 的长；
（3）点 P是⊙O上动点，当 PD+PC 的值最小时，求 PC 的长．
解：（1）证明：如图 1，
∵点D是半圆的中点，
∴∠APD＝45°，
连接 OP，
∴OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA，
∴∠PEC＝∠OAP+∠APE＝∠OPA+∠APE＝∠ APE﹣∠OPE+∠APE＝2∠APE﹣∠OPE＝90°﹣
3
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