《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题09 平行四边形在二次函数中的综合问题(解析版)

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专题 09 平行四边形在二次函数中的综合问题
1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2＋mx＋n经过点 A(3，0)、B(0，－3)，点 P是直线 AB 上的
动点，过点 P作x轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P的横坐标为 t．
(1)分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式．
(2)若点 P在第四象限，连接 AM、BM，当线段 PM 最长时，求△ABM 的面积．
(3)是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P
的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式是
2
2 3y x x 
.直线 AB 的解析式是
3y x 
.
(2)
27
8
.
（3）P点的横坐标是
3 21
2
或
3 21
2
.
【解析】
解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入
2
y x mx n 
，得
0 9 3
{3
m n
n
 
 
解得
2
{3
m
n
 
 
1
所以抛物线的解析式是
2
2 3y x x 
.
设直线 AB 的解析式是
,把A（3，0）B（0，
3
）代入
y kx b 
,得
0 3
{3
k b
b
 
 
解得
1
{3
k
b
 
所以直线 AB 的解析式是
3y x 
.
(2)设点 P的坐标是（
3p p ，
）,则M（
p
,
22 3p p 
）,因为
p
在第四象限，所以 PM=
2 2
( 3) ( 2 3) 3p p p p p  
，当 PM 最长时
9
4
PM
，此时
3,
2
p
ABM BPM APM
S S S 
 
=
1 9 3
2 4
 
=
27
8
.
（3）若存在，则可能是：
P①在第四象限：平行四边形 OBMP ,PM=OB=3， PM 最长时
9
4
PM
，所以不可能.
P②在第一象限平行四边形 OBPM： PM=OB=3，
2
3 3p p 
，解得
1
3 21
2
p
，
2
3 21
2
p
（舍
去），所以 P点的横坐标是
3 21
2
.
P③在第三象限平行四边形 OBPM：PM=OB=3，
2
3 3p p 
，解得
1
3 21
2
p
（舍去），
2
①
2
3 21
2
p
，所以 P点的横坐标是
3 21
2
.
所以 P点的横坐标是
3 21
2
或
3 21
2
.
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3 经过 A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为 D，
连接 AD，点 P是线段 AD 上一个动点（不与 A、D重合）．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D的坐标；
（2）如图 1，过点 P作PE y⊥轴于点 E．求△PAE 面积 S的最大值；
（3）如图 2，抛物线上是否存在一点 Q，使得四边形 OAPQ 为平行四边形？若存在求出 Q点坐标，若不存
在请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为 y＝﹣x22x+3﹣ ，顶点 D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE 面积 S的最
大值是
9
4
；（3）点 Q的坐标为（﹣2+
√
7
，2
√
7
4﹣ ）．
【解析】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3 经过 A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴
¿
，得
¿
，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x22x+3﹣ ＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
3
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