《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题08 二次函数中的相似三角形综合问题(原卷版)

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专题 08 二次函数中的相似三角形综合问题

1、如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与x轴的交点分别为 A（﹣6，0）和点 B（4，0），与 y轴的交点为

C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 P是线段 OA 上一动点（不与点 A重合），过 P作平行于 y轴的直线与 AC 交于点 Q，点 D、M在

线段 AB 上，点 N在线段 AC 上．

① 是否同时存在点 D和点 P，使得△APQ 和△CDO 全等，若存在，求点 D的坐标，若不存在，请说明理

由；

② 若∠DCB= CDB∠，CD 是MN 的垂直平分线，求点 M的坐标．

2、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函

数图象的对称轴于点，若点 C为的中点.

（1）求的值；

（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；

（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得 ∽ ？若存在，求出点

的坐标；若不存在，请说明理由.

3、在平面直角坐标系中，已知抛物线 L：

 

y ax c a x c   

经过点 A（-3，0）和点 B（0，-6），L

关于原点 O对称的抛物线为

L

（1）求抛物线 L的表达式；

（2）点 P在抛物线

L

上，且位于第一象限，过点 P作PD y⊥轴，垂足为 D.若△POD 与△AOB 相似，求

符合条件的点 P的坐标.

4、如图，抛物线

y ax 2ax c  

（a≠0）交 x轴于 A、B两点，A点坐标为（3，0），与 y轴交于点

C（0，4），以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴 l在边 OA（不包括 O、A两点）上平行移动，分别交 x轴于点 E，交 CD 于点 F，交

AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M的横坐标为 m，请用含 m的代数式表示 PM 的长；

（3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以 P、C、F为顶

点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时 m的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理

由．

5、如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1），且与直线 y=x 2﹣ 交于 B，C两点．

⑴ 求抛物线的解析式及点 C的坐标；

⑵ 求证：△ABC 是直角三角形；

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