《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题06 一元二次方程在实际应用中的最值问题(解析版)

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专题 06 一元二次方程在实际应用中的最值问题
【应用呈现】
1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009 年投入 6000 万元，2011 年投入 8640
万元．
（1）求 2009 年至 2011 年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计 2012 年投入教育经费不低于 9500 万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？
请通过计算说明理由．
解：（1）设每年平均增长的百分率为 x．
6000
(1+x)2
=8640，
(1+x)2
=1.44，
1+x∵ ＞0，
1+x=1.2∴ ，
x=20%．
答：每年平均增长的百分率为 20%；
（2）2012 年该县教育经费为 8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500 万元．
故能实现目标．
2、如图，要建造一个四边形花圃 ABCD，要求 AD 边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5 4∶ ，且三边
的总长为 20 m．设 AB 的长为 5x m.
(1)请求 AD 的长；(用含字母 x的式子表示)
(2)若该花圃的面积为 50 m2，且周长不大于 30 m，求 AB 的长．
　解：(1)作BH⊥AD 于点 H，则 AH＝3x，由 BC＝DH＝20－9x得AD＝20－6x　(2)由2(20－9x)＋3x＋9x
≤30 得x≥，由[(20－9x)＋(20－6x)]×4x＝50 得3x2－8x＋5＝0，∴x1＝，x2＝1(舍去)，∴5x＝.答：AB 的长
为米　
【方法总结】
一、一元二次方程判别式求解
1、已知 x、y为实数，且满足 ， ，求实数 m最大值与最小值。
1
解：由题意得
所以 x、y是关于 t的方程 的两实数根，所以
即
解得
m 的最大值是 ，m的最小值是－1。
2、已知 m，n是关于 x的一元二次方程 x22tx+t﹣22t+4=0﹣的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（
）
A．7 B．11 C．12 D．16
【答案】D
【详解】
m∵，n是关于 x的一元二次方程 x22tx+t﹣22t+4=0﹣的两实数根，
m+n=2t∴，mn=t22t+4﹣，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
=∴△（﹣2t）24﹣（t22t+4﹣）=8t 16≥0﹣，
t≥2∴，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故选 D．
二、配方法求最值
2
1、设 a、b为实数，那么 的最小值为_______。
【答案】-1
【解析】
当 ， ，即 时，
上式等号成立。故所求的最小值为－1。
2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点 D在AB 边上，△DEF 绕点 D旋转，腰 DF
和底边 DE 分别交△CAB 的两腰 CA，CB 于M，N两点，若 CA=5，AB=6，AB=1：3，则 MD+
的最小值为 ．
【答案】 ．
【详解】
AB=6∵，AB=1：3，∴AD=6× =2，BD=6 2=4﹣ ，∵△ABC 和△FDE 是形状、大小完全相同的两个等腰
三角形，∴∠A= B= FDE∠ ∠ ，由三角形的外角性质得，
3
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