《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题05 弧长的计算和扇形的面积中圆的应用(解析版)

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专题 05 弧长的计算和扇形的面积中圆的应用
一、弧长的计算
圆中的有关计算有下列公式：
1．圆周长公式：C＝2πR.
2．圆面积公式：S＝πR2.
3．弧长公式：l＝.
4．扇形面积公式：
(1)S扇形＝；
(2)S扇形＝lR.
这些计算公式有一个共同点，就是知晓其中任意两个量，就可以求出第三个量．
弧长的计算[来源:学.科.网]
由弧长公式可知，求弧长的关键是求弧所在圆的半径和弧所对的圆心角．
【精典例题】
1、如图，⊙O的半径等于 1，弦 AB 和半径 OC 互相平分于点 M.求扇形 OACB 的面积(结果保留 π)．
解：∵弦 AB 和半径 OC 互相平分，
∴OC⊥AB，OM＝MC＝OC＝OA
．
在Rt△OAM 中，sin A＝＝，∴∠A＝30°.
又∵OA＝OB，∴∠B＝∠A＝30°.
∴∠AOB＝120°.
∴S扇形 OACB＝＝.
当已知半径 r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用 S扇=，当已知半径 r和弧长求扇形的面积时，应选用
公式 S扇=lr.
2、如图，AB 是⊙O的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA，C为垂足，弦 DF 与半径 OB 相交于点 P，连接 EF，
EO，若 DE＝2，∠DPA＝45°.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
1
解：(1)∵直径 AB⊥DE，∴CE＝DE＝.
∵DE 平分 AO，∴CO＝AO＝OE.
又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.
在Rt△COE 中，OE＝＝＝2.
∴⊙O的半径为 2.
(2)连接 OF，如图所示．
在Rt DCP△中，[来源:学科网 ZXXK]
DPC=45°∵∠ ，
D=90°∴∠ -45°=45°.
EOF=2 D=90°.∴∠ ∠
S∵扇形 OEF=×π×22=π，SOEF△=×OE×OF=×2×2=2.
S∴阴影=S 扇形 OEF-S OEF△=π-2.
不规则图形的面积(常用阴影部分给出)的计算一般都要通过割补的方法，将不规则图形的面积转化为规则
图形面积的和差进行计算，其中，弓形面积转化为扇形面积与三角形面积的和差是最常见的一种转化．
3、如图，△ABC 是正三角形，曲线 CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中CD，DE，EF，… 的圆心
按点 A，B，C 循环．如果 AB＝1，那么曲线 CDEF 的长是____4π__．
【思路生成】CD，DE，EF的圆心角都是 120 度，半径分别是 1，2，3.
【解析】 CD的长是＝，DE的长是＝，
EF的长是＝2π，则曲线 CDEF 的长是＋＋2π＝4π.
4、如图 1是小明制作的一副弓箭，点 A，D分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点，弓弦 BC＝60 cm.沿AD 方
向拉弓的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图 2，当弓箭从自然状态的点 D拉到点
D1时，有 AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120°.
(1)图2中，弓臂两端 B1，C1的距离为__30__ cm；
(2)如图 3，将弓箭继续拉到点 D2，使弓臂 B2AC2为半圆，则 D1D2的长为__10 － 10 __ cm.
2
【解析】 (1)连结 B1C1交AD1于E，则 AD1垂直平分 B1C1.在Rt△B1D1E中，∵∠B1D1C1＝120°，∴∠B1
D1E＝60°.∵B1D1＝30，∴B1E＝15.∴B1C1＝30；
(2)图2中，∵AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120°，∴弓臂 B1AC1的长＝＝20π.
图3中，∵弓臂 B2AC2为半圆，∴20π＝dπ，∴半圆的半径 d＝20.
连结 B2C2交AD2于E1，则 AD2垂直平分 B2C2.
在Rt△B2D2E1中，D2E1＝＝＝10.
∴AD2＝10＋20.
∵AD1＝30 cm，∴D1D2＝AD2－AD1＝10－10.
二、扇形的面积
扇形的面积
由扇形的面积公式可知，求扇形的面积公式的关键是求扇形所在圆的半径和扇形的圆心角．
1、如图,在平行四边形 ABCD 中, A=2 B, C∠ ∠ ☉ 的半径为 3,则图中阴影部分的面积是(　　)
A.π B.2π C.3π D.6π
答案 C
解析∵在▱ABCD 中, A=2 B, A+ B=180°, A=120°.∠ ∠ ∠ ∠ ∴∠
C= A=120°, C∵∠ ∠ ☉ 的半径为 3,
∴图中阴影部分的面积是:
120· π × 32
360
=3π.
故选 C.
2、如图,点A,B,C,D 都在半径为 1的☉O上,若OA BC, CDA=30°,⊥ ∠ 则扇形 OAB 的面积一定为(　　)
3
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