《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题05 一元二次方程与三角形的综合(解析版)

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专题 05 一元二次方程与三角形的综合
【专题说明】
一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就
是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及与等
腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．
一、一元二次方程与三角形三边关系的综合
1．三角形的两边长分别为 4和6，第三边长是方程 x2－7x＋12＝0的解，则 第三边的长为(　C　)
A．3　　　B．4　　　C．3或4　　　D．无法确定
2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．
一个三角形两边长分别为 3 cm 和7 cm，第三边长为 a cm，且整数 a满足 a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．
解：由已知可得 4<a<10 ，则 a可取 5，6，7，8，9.(第一步)
当a＝5时，代入 a2－10a＋21，得 52－10×5＋21≠0，故 a＝5不是方程的根．
同理可知 a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)
∴三角形的周长是 3＋7＋7＝17(cm)．
上述过程中，第一步是根据
_______________________________________________________________________
________________________________________________________________________，
第二步应用的 数学思想是______________，确定 a值的大小是根据______________．
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；分类讨论思想；方程根的定义
二、 一元二次方程与直角三角形的综合
1
3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x2－17x＋60＝0的两 个根，则这个直角三角形
的斜边长为___13_____．
4．已知 a，b，c分别是△ABC 的三边长，当 m> 0 时，关于 x的一元二次方程 c(x2＋m)＋b( x2－m)－2ax＝
0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
解：△ABC 是直角三角形．理由如下：
原方程可化为(b＋c)x2－2ax＋cm－bm＝0，
Δ＝4ma2－4m(c－b)(c＋b)＝4m(a2＋b2－c2)．
m>0∵ ，且原方程有两个相等的实数根，
a∴2＋b2－c2＝0，即 a2＋b2＝c2.
ABC∴△ 是直角三角形．
三、一元二次方程与等腰三角形的综合
5．已知关于 x的一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5.当△ABC 是等腰三角形
时，求 k的值．
(1)证明：∵a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝k2＋k，
Δ∴ ＝[－( 2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1＞0.　
∴此方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵△ABC 的两边 AB，AC 的长是方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的两个实数根，
∴由(1)知，AB≠AC，∵△ABC 的第三边 BC 的长为 5，且△ABC 是等腰三角形，[来源:学科网]
2
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