《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题03 直角三角形与二次函数的分类讨论问题(原卷版)

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专题 03 直角三角形与二次函数的分类讨论问题

1、已知抛物线 y＝﹣

x2﹣

x+2 与x轴交于点 A，B两点，交 y轴于 C点，抛物线的对称轴与 x轴交于 H

点，分别以 OC、OA 为边作矩形 AECO．

（1）求直线 AC 的解析式；

（2）如图 2，P为直线 AC 上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点 M，当四边形 AOCP 面积最大

时，求|PM﹣OM|的最大值．

（3）如图 3，将△AOC 沿直线 AC 翻折得△ACD，再将△ACD 沿着直线 AC 平移得△A'C′D'．使得点 A

′、C'在直线 AC 上，是否存在这样的点 D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点 D′的坐标；若不

存在，请说明理由．

2、已知抛物线 :的项点为，交轴于、两点(点在点左侧)，且．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)过点的直线交抛物线于点 ,交轴于点 ,若的面积被轴分为 1: 4 两个部分，求直线的

解析式；

(3)在(2)的情况下，将抛物线绕点逆时针旋转 180°得到抛物线 ,点为抛物线上一点，当点的

横坐标为何值时，为直角三角形？

3、已知：如图，一次函数 y=

x+1 的图象与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B；二次函数 y=

x2+bx+c 的图

象与一次函数 y=

x+1 的图象交于 B、C两点，与 x轴交于 D、E两点且 D点坐标为（1，0）

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形 BDEC 的面积 S；

（3）在 x轴上有一动点 P，从 O点出发以每秒 1个单位的速度沿 x轴向右运动，是否存在点 P使得△PBC

是以 P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点 P运动的时间 t的值，若不存在，请说明理由．

（4）若动点 P在x轴上，动点 Q在射线 AC 上，同时从 A点出发，点 P沿x轴正方向以每秒 2个单位的速

度运动，点 Q以每秒 a个单位的速度沿射线 AC 运动，是否存在以 A、P、Q为顶点的三角形与△ABD 相

似，若存在，求 a的值，若不存在，说明理由．

4、已知，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过点 A（﹣1，0）和 C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使 PA+PC 的值最小？如果存在，请求出点 P的坐标，如果不

存在，请说明理由；

（3）设点 M在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点 M的坐标．

5、如图，动直线 y＝kx+2（k＞0）与 y 轴交于点 F，与抛物线 y＝

x2+1

相交于 A，B 两点，过点

A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，连接 CF，DF，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．

6、如图，已知直线 y＝﹣x+4 分别交 x轴、y轴于点 A、B，抛物线过 y＝ax2+bx+c 经过 A，B两点，点 P

是线段 AB 上一动点，过点 P作PC x⊥轴于点 C，交抛物线于点 D．

（1）若抛物线的解析式为 y＝﹣

x2+x+4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N．

①求点M、N的坐标；

② 是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由；

（2）当点 P的横坐标为 2时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？

若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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