《九年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)》专题16 圆与三角函数（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 16 圆与三角函数
题型一 利用锐角三角函数值求有关线段的长
【典例 1】（2019•碑林区校级模拟）如图，已知△OAB 中，OA＝OB＝10，sinB
¿3
5
，以点 O为圆心，12
为直径的⊙O交线段 OA 于点 C，交直线 OB 于点 E、D，连接 CD，EC．
（1）求证：AB 为⊙O的切线；
（2）在（l）的结论下，连接点 E和切点，交 OA 于点 F，求 CF 的长．
【点拨】（1）过点 O作OG⊥AB，垂足为 G，由条件求出 OG，根据切线的判定方法判断即可；
（2）先求出 CE 长，证明 OG∥EC，得到△FOG∽△FCE，根据相似三角形的性质定理得
OF
CF =OG
CE
，可
得OF•CE＝OG•CF，设 CF＝x，则可得关于 x的方程，解方程即可得解．
【解析】（1）证明：如图，过点 O作OG⊥AB，垂足为 G，
∴∠OGA＝∠OGB＝90，
∵OA＝OB，sinB
¿3
5=OG
OB
，
1
∴OG
¿3
5×10=¿
6，
∵⊙O的直径为 12，
∴半径 r为6，
∴OG＝r＝6，又 OG⊥AB，
∴AB 为⊙O的切线；
（2）解：∵DE 为⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠ABD，
∴
sin ∠CDE=CE
DE =3
5
，
∴
CE
12 =3
5
，
∴
CE=36
5
，
∵OA＝OB，AG＝BG，
∴∠AOG＝∠BOG，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠AOB＝∠OEC+∠OCE，
∴∠AOG＝∠OCE，
∴OG∥EC，
2
∴△FOG∽△FCE，
∴
，
∴OF•CE＝OG•CF，
设CF＝x，则
36
5×(6− x )=6x
，
解得：x
¿36
11
．
∴CF
¿36
11
．
【典例 2】（2019•碑林区校级一模）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D是AB 的中点，以 AD 是直径
的⊙O交AC 于点 E，⊙O的切线 EF 交CD 于点 F，
（1）求证：EF⊥CD；
（2）若 AC＝10，cosA
¿5
6
，求线段 DF 的长．
【点拨】（1）连接 DE，OE，由条件知 DA＝DC，∠AED＝90°，则 AE＝EC，可证明 OE∥DC，得出
∠EFC＝90°；
（2）可求出 AE＝5，求出 DE，在 Rt△DEF 中，cosA＝cos∠DEF
¿5
6
，可求出 EF 长，则 DF 长可求．
【解析】（1）证明：连接 DE，OE，
3
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