《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题11 二次函数中三角形问题培优训练（一）（原卷版）

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2020 苏科版九下第五章《二次函数》中的三角形问题培
优训练（一）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 如图，已知抛物线
y1=a x2+bx +c(a ≠ 0)
交x轴于
点
A(−1,0)
，
B(3,0)
，交 y轴于点
C(0, −3)
，直
线
y2=3
2x −1
交抛物线
y1=a x2+bx +c(a ≠ 0)
于
点M，
N¿
在N的左侧
，抛物线顶点为 P．
(1)
求该抛物线的解析式；
(2)
求
△PMN
的面积
S△PMN
；
(3)
若
y1<y2≤0
，则此时横坐标 x的取值范围是______
.¿
直接写出结果
¿
2. 如图，抛物线
y=− x2+bx+c
与x轴相交于 A，B
两点
¿
点A位于点 B的左侧
¿
，与 y轴相交于点
C，M是抛物线的顶点，直线
x=1
是抛物线的对称
轴，且点 C的坐标为
(0,3)
．
(1)
求抛物线的解析式；
(2)
已知 P为线段 MB 上一个动点，过点 P作
PD ⊥x
轴于点
D .
若
PD=m
，
△PCD
的面积为 S．
①
求S与m之间的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；
1
②
当S取得最值时，求点 P的坐标．
(3)
在
(2)
的条件下，在线段 MB 上是否存在点 P，使
△PCD
为等腰三角形？如果
存在，请求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由．
3. 抛物线
l1
：
y=x2+bx +c
与它的对称轴
x=−2
交于点 A，且经过点
B(0, −2)
．
(1)
求抛物线
l1
的解析式；
(2)
如图 1，直线
y=kx+2k − 8(k<0)
与抛物线
l1
交于点 E，F，若
△AEF
的面积
为
2
√
2
，求 k的值；
(3)
如图 2，将抛物线
l1
向下平移
n(n>0)
个单位长度得到抛物线
l2
，抛物线
l2
与y轴
交于点 C，过点 C作x轴的平行线交抛物线
l2
于另一点 D；抛物线
l2
的对称轴与 x
轴的交于点 M，P为线段 OC 上一点，若
△POM
与
△PCD
相似，并且符合该条
件的点 P有且只有 2个，求 n的值及相应点 P的坐标．
2
4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=−1
2x2+bx +c
，经过点
A(1,3)
、
B(0,1)
，
过点 A作x轴的平行线交抛物线于另一点 C．
(1)
求抛物线的表达式及其顶点坐标；
(2)
如图 1，点 M是第一象限中 BC 上方抛物线上的一个动点，过点作
MH ⊥BC
于点 H，作
ME ⊥x
轴于点 E，交 BC 于点 F，在点 M运动的过程中，
△MFH
的
周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3)
如图 2，连接 AB，在 y轴上取一点 P，使
△ABP
和
△ABC
相似，请求出符合
要求的点 P坐标．
5. 如图，抛物线
y=− x2+bx+c
的图象与 x轴交于
A(−4,0)
和点 B两点，与 y轴交于点 C，抛物线的对
称轴是
x=−1
与x轴交于点 D．
(1)
求拋物线的函数表达式；
(2)
若点
P(m , n)
为抛物线上一点，且
−4<m<−1
，
3
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