《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题19 二次函数与圆问题培优训练（解析版）

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2020 苏科版九下第五章《二次函数》中的圆问题培优训
练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、解答题
1. 已知：二次函数
y=1
2x2+2x+m
的图象与 x轴有公共点．
(1)
求m的取值范围；
(2)
如图所示，若二次函数
y=1
2x2+2x+m
图象的顶点 B在x轴上，与 y轴的交点
为A，P为图象上的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B，求 P
点的坐标；
(3)
在
(2)
中，若点 P关于 y轴的对称点为 M，求以点 M为圆心，BP 长为半径的圆
是否与直线 AB 相切？并说明理由．
1
【分析】此题是二次函数的综合题，涉及到一次函数、二次函数解析式的确定，直线
与圆的位置关系，切线的判定与性质，轴对称的性质等，掌握二次函数的性质和切线
的判定与性质是解题的关键，
根据题意可得
△≥0
，即可得出 m的取值范围；
(2)
根据题意得出点 A，B的坐标，可得直线 AB 的解析式，由线段 PB 为直径的圆与直
线AB 相切于点 B可得
PB⊥AB
，得到直线 PB 的解析式，联立与抛物线的解析式可得
点P的坐标；
(3)
根据题意得到
M(4,2)
，半径
BP=2
√
2
，M到直线 AB 的距离为
2
√
2
，即可判断以
点M为圆心，BP 长为半径的圆是与直线 AB 相切．
【解答】解：
(1)∵
二次函数
y=1
2x2+2x+m
的图象与 x轴有公共点．
∴Δ=b2−4ac=4−2m⩾0
，解得
m ≤2
；、
(2)
由题意可得：二次函数
y=1
2x2+2x+m
图象的顶点 B在x轴上，
∴Δ=0
，即
m=2
，
∴y=1
2x2+2x+2
，
∴
顶点为
B(−2,0)
，图象与 y轴的交点坐标为
A(0,2)
，
∴
直线 AB：
y=x+2
，
又
∵PB ⊥AB
，
∴
直线 PB 的解析式为
y=− x − 2
，
∴− x − 2=1
2x2+2x+2
，
x1=−2, x2=−4
，
x=−2
舍去，当
x=−4
时，
y=2
，
∴P(−4,2)
；
(3)P(−4,2)
，
点P关于 y轴的对称点为
M(4,2)
，
2
BP=
√
(
−4+2
)
2+22=2
√
2
，
设过点 M作直线 AB 的垂线，垂足为
Q(x , x +2)
，
∴A Q2+Q M2=A M 2
，
∴
(
4− x
)
2+x2+2x2=16
，解得
x=2
，
即
Q(2,4)
，
∴MQ=
√
(
4−2
)
2+
(
2−4
)
2=2
√
2
．
∴M
到直线 AB 的距离为
2
√
2
，
∴
以点 M为圆心，BP 长为半径的圆是与直线 AB 相切．
2. 抛物线
y=x2+bx +c
与x轴交于点 A和
B¿
点A在点 B的左侧
¿
，与 y轴交于点 C，
OB=OC
，点
D(2, −3)
在抛物线上．
(1)
求抛物线的解析式；
(2)
点
P(1
2m , km+1)
，m为任意实数，当 m变化时，点 P在直线 l上运动，若点
A，D到直线 l的距离相等，求 k的值；
(3)M
为抛物线在第一象限内一动点，若
∠AMB>45 °
，求点 M的横坐标
xM
的取
值范围．
3
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