《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题02 巧用隐圆（解析版）

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专题 02 巧用隐圆
一．选择题
1．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC＝BC＝4
√
2
，点 P在以斜边 AB 为直径的半圆上，M为PC 的中点．当点
P沿半圆从点 A运动至点 B时，点 M运动的路径长是（　　）
A．2
√
2π+4
B．2πC．4
√
2+2
D．4π
解 ： 如 图 ， 取 AB 的 中 点 O、AC 的 中 点 E、BC 的 中 点 F， 连 接
OC、OP、OM、OE、OF、EF，
∵在等腰 Rt△ABC 中，AC＝BC＝4
√
2
，
∴AB
¿
√
2
BC＝8，
∴OC
¿1
2
AB＝4，OP
¿1
2
AB＝4
∵M为PC 的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M在以 OC 为直径的圆上，
点P点在 A点时，M点在 E点；点 P点在 B点时，M点在 F点，易得四边形 CEOF 为正方形，EF＝OC
＝4，
∴M点的路径为以 EF 为直径的半圆，
∴点M运动的路径长是
•π•4＝2π，
故选：B．
2．如图，△ACB 中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点 P为CA 上的动点，连 BP，过点 A作AM⊥BP 于M．
当点 P从点 C运动到点 A时，线段 BM 的中点 N运动的路径长为（　　）
1
A．
√
2
2
πB．
√
2
πC．
√
3
πD．2π
解：设 AB 的中点为 Q，连接 NQ，如图所示：
∵N为BM 的中点，Q为AB 的中点，
∴NQ 为△BAM 的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以 QB 的中点 O为圆心，
1
4
AB 长为半径的圆交 CB 于D的
^
QD
，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB
¿
√
2
CA＝4
√
2
，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴
^
QD
为⊙O的
1
4
周长，
∴线段 BM 的中点 N运动的路径长为：
90 π × 1
4×4
√
2
180 =
√
2
2
π，
故选：A．
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD 是中线，点 E、F同时从点 D出发，以相
同的速度分别沿 DC、DB 方向移动，当点 E到达点 C时，运动停止，直线 AE 分别与 CF、BC 相交于
G、H，则在点 E、F移动过程中，点 G移动路线的长度为（　　）
2
A．2 B．πC．2πD．
√
2
2
π
解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE 和△CDF 中，
{
AD=CD
∠ADE=∠CDF
DE=DF
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧 CD，
∵AB＝4，AB
¿
√
2
AC，
∴AC＝2
√
2
，
∴OA＝OC
¿
√
2
，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
3
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