《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题8几何图形变化—8.5之四边形旋转

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【经典例题 1】如图，四边形 ABCD 为菱形，∠BAD=60°，E为直线 BD 上的动
点（点 E不与点 B和点 D重合），直线 CE 绕C点顺时针旋转 60°与直线 AD 相
交于点 F，连接 EF．
（1）如图①，当点 E在线段 BD 上时，∠CEF=___度；
（2）如图②，当点 E在BD 延长线上时，试判断∠DEF+ DFE∠与∠CEF 度数
之间的关系，并说明理由；
（3）如图③，若四边形 ABCD 为平行四边形，∠DBC= DCB=45°∠，E为直线
BD 上的动点（点 E不与点 B和点 D重合），射线 CE 绕C点顺时针旋转 45°与
直线 AD 相交于点 F，连接 EF，探究∠DEF+ DFE∠与∠CEF 度数之间的关系．
（直接写出结果）
【解析】（1）如图①∵四边形 ABCD 为菱形，
BC=CD∴，∠A= BCD=60°∠，AD BC∥，
CDF= BCD=60°∴∠ ∠ ，△BDC 是正三角形，
BDC=60°∴∠ ，
DBC= CDF∴∠ ∠ ．∠BDF=120°．
ECF=60°∵∠ ，
BCD= ECF∴∠ ∠ ，
BCD- ECD= ECF- ECD∴∠ ∠ ∠ ∠ ，
BCE= DCF∴∠ ∠ ．
在△BCE 和△DCF 中
DBC= CDF BC=DC BCE= DCF∠ ∠ ∠ ∠ ，
BCE DCF∴△ ≌△ （ASA），
1
CE=CF∴．
ECF=60°∵∠ ，
CEF∴△是等边三角形，
CEF=60°∴∠ ．
故答案为：60；
（2）∠DEF+ DFE=2 CEF∠ ∠ ；
理由：如图②，∵四边形 ABCD 为菱形，
BC=CD∴，∠A= BCD=60°∠，AD BC∥，
CDF= BCD=60°∴∠ ∠ ，△BDC 是正三角形，
BDC=60°∴∠ ，
DBC= CDF∴∠ ∠ ．∠BDF=120°．
ECF=60°∵∠ ，
BCD= ECF∴∠ ∠ ，
BCD+ ECD= ECF+ ECD∴∠ ∠ ∠ ∠ ，
BCE= DCF∴∠ ∠ ．
在△BCE 和△DCF 中
DBC= CDF BC=DC BCE= DCF∠ ∠ ∠ ∠ ，
BCE DCF∴△ ≌△ （ASA），
CE=CF∴．
CEF∴△是等边三角形，
CEF=60°∴∠ ．
DEF+ DFE= BDF=120°∵∠ ∠ ∠ ，
DEF+ DFE=2 CEF∴∠ ∠ ∠ ；
（3）结论：∠DEF+ DFE=3 CEF∠ ∠ 或∠DEF+ DFE= CEF∠ ∠ ．
2
理由：①如图 3，当点 E在线段 BD 的延长线上或线段 DB 的延长线上时，
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
AD BC∴ ∥ ，
FDC= BCD∴∠ ∠ ．
DBC= DCB=45°∵∠ ∠ ，
BDC=90°∴∠ ．
FDC=45°∴∠ ．
FCE= DBC∴∠ ∠ ．
ECF=45°∵∠ ，
BCD= ECF∴∠ ∠ ，
BCD+ DCE= ECF+ DCE∴∠ ∠ ∠ ∠ ，
BCE= DCF∴∠ ∠ ．
BCE DCF∴△ ∽△ ，
BC/DC=CE/CF∴，
BCD ECF∴△ ∽△ ，
DBC= FEC∴∠ ∠ ，
FEC=45°∴∠ ．
DEF+ DFE= BDF=135°∵∠ ∠ ∠
DEF+ DFE=3 CEF∴∠ ∠ ∠ ．
②当点 E在线段 BD 上时，如图 4中，同理可证∠FEC=45°，
ADB= DEF+ DFE=45°∵∠ ∠ ∠ ，
DEF+ DFE= FEC∴∠ ∠ ∠ ．
点评 本题考查了菱形的性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，全等三
角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，相似三角形的判
3
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