《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题9圆—9.17新定义问题

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新定义问题
【经典例题 1】如图，⊙O的直径 AB＝26，P是AB 上（不与点 A、B重合）的
任一点，点 C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD 为直径 AB
的“回旋角”．
（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD 是直径 AB 的“回旋角”吗？并说
明理由；
（2）若 的长为 π，求“回旋角”∠CPD 的度数；
（3）若直径 AB 的“回旋角”为 120°，且△PCD 的周长为 24+13 ，直接
写出 AP 的长．
【解析】∠CPD 是直径 AB 的“回旋角”，
理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180° 60° 60°﹣ ﹣ ＝60°，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠CPD 是直径 AB 的“回旋角”；
（2）如图 1，∵AB＝26，
∴OC＝OD＝OA＝13，
1
设∠COD＝n°，
∵的长为 π，
∴，
∴n＝45，
∴∠COD＝45°，
作CE⊥AB 交⊙O于E，连接 PE，
∴∠BPC＝∠OPE，
∵∠CPD 为直径 AB 的“回旋角”，
∴∠APD＝∠BPC，
∴∠OPE＝∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴点D，P，E三点共线，
∴∠CED＝ ∠COD＝22.5°，
∴∠OPE＝90° 22.5°﹣＝67.5°，
∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，
∴∠CPD＝45°，
即：“回旋角”∠CPD 的度数为 45°，
2
（3）①当点 P在半径 OA 上时，如图 2，过点 C作CF⊥AB 交⊙O于F，连
接PF，
∴PF＝PC，
同（2）的方法得，点 D，P，F在同一条直线上，
∵直径 AB 的“回旋角”为 120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PCF 是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
连接 OC，OD，
∴∠COD＝120°，
过点 O作OG⊥CD 于G，
∴CD＝2DG，∠DOG＝ ∠COD＝60°，
∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝ ，
∴CD＝13 ，
∵△PCD 的周长为 24+13 ，
∴PD+PC＝24，
∵PC＝PF，
∴PD+PF＝DF＝24，
3
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