19.2.3 一次函数与方程、不等式 教案 八年级数学人教版下册

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19.2.3 一次函数与方程、不等式
一、教学目标
1.掌握一次函数与方程、不等式之间的关系.
2.综合运用一次函数与方程、不等式之间的关系解决问题.
二、教学重难点
重点
掌握一次函数与方程、不等式之间的关系.
难点
综合运用一次函数与方程、不等式之间的关系解决问题.
重难点解读
1. 直 线 y=kx+b （ k≠0 ） 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 就 是 一 元 一 次 方 程
kx+b=0（k≠0）的解，与 y 轴的交点的横坐标是一元一次方程 kx+b=b（k≠0）
的解.
2.一次函数 y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式 ax+b＞0（或 ax+b＜0）的关系：
（ 1 ） 在 直 线 y=ax+b （ a≠0 ） 中 ， 当 y ＞ 0 时 ， x 的 取 值 范 围 是 直 线
y=ax+b（a≠0）在 x 轴上方部分的图象对应的 x 的取值范围；
（ 2 ） 在 直 线 y=ax+b （ a≠0 ） 中 ， 当 y ＜ 0 时 ， x 的 取 值 范 围 是 直 线
y=ax+b（a≠0）在 x 轴下方部分的图象对应的 x 的取值范围.
3.两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解.若两个一次函
数的图象无交点（平行），则相应的二元一次方程组无解；若两个一次函数的
图象重合，则相应的二元一次方程组有无数组解；若两个一次函数的图象相交
（有一个交点），则相应的二元一次方程组有唯一解.
三、教学过程
活动 1 旧知回顾
1.回顾一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组的解法.
2.求直线 y=3x+6 与坐标轴的交点坐标.
活动 2 探究新知
1.教材第 96 页 第 1 个思考.
提出问题：
1
（1）从形态上看，y=2x+1 和 2x+1=0 有什么差别？
（2）直线 y=2x+1 与 x 轴的交点的横坐标是方程 2x+1=0 的解吗？为什么？
（3）一次函数和一元一次方程有什么联系？
2.教材第 96 页 第 2 个思考.
提出问题：
（1）你能解思考中的三个不等式吗？
（2）画出直线 y=3x+2 的图象，请在图象上找出当 y 大于 2，小于 0，小于 1 时，
x 分别在哪个范围内？
（3）比较（1）和（2）的结果，你有什么发现？
3.教材第 97 页 问题 3.
提出问题：
（1）两个气球所在的海拔高度与上升时间有什么关系？你能用函数表示吗？
（2）两个气球在某个时刻能否处于同一高度？为什么？
（3）由此你能发现什么？
活动 3 知识归纳
1.一次函数与一元一次方程的关系：
因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程都可以变形为 ax+b=0 （a≠0）
的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数 y=ax+b 的函数值为 0
时，求自变量 x 的值.
2.一次函数与一元一次不等式的关系：
因为任何一个以 x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为 ax+b ＞ 0 或
ax+b ＜ 0 （a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数
y=ax+b 的值大于 0 或小于 0 时，求自变量 x 的 取值范围 .
3.一次函数与二元一次方程（组）的关系：
（1）一般地， 因为 每个 含有 未知数 x 和 y 的二元一次方 程， 都可 以写 成
y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个 一
次函数 ，也对应一条 直线 ，这条直线上每个点的坐标（x，y）都是
这个二元一次方程的解；
（2）由含有未知数 x 和 y 的二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个
一次函数 ，也对应两条直线，从“数”的角度看，解这样的方程组，相当
2
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