22.7-22.9 平面向量及其加减运算-2020-2021学年八年级数学第二学期同步课堂帮帮帮（沪教版）（原卷版）

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22.7-22.9 平面向量及其加减运算
知识梳理
一、平面向量
1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点
有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.
2.平面向量的定义及表示
（1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.
（2）向量的表示方法:
① 小写英文字母表示法: 如
, , ,abc
 
等.
② 几何表示法:用一条有向线段表示向量，如
,AB CD
              
等.
（3）向量的分类：
固定向量：有大小、方向、作用点的向量；
自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.
3. 特殊的向量
零向量:长度为零的向量叫零向量.
单位向量:长度等于 1个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量).
规定:
0
与任一向量共线.
要点：
（1）零向量的方向是任意的，注意
0
与0的含义与书写的不同.
（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直
线上的线段的位置关系.
(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
二、平面向量的加法运算
1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.
2. 运算法则：
（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那
么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角
形法则.如图：
AB BC AC 
 
（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量
的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.
（3）平行四边形法则：如果
a
 
、b
是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共
起点，作两个向量分别与
a
 
、b
相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作
这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是
a
 
、b
和的向量.如图：
　　　　　　　　　
AB AD AC 
 
　　　　　　
要点：
1.两个向量的和是一个向量，规定
.
2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
ＡＢ
Ｃ
ＡＢ
Ｃ
Ｄ
2
3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n个向量连加，即得到几
个向量相加的多边形法则.
4.
| | | | | | | | | |a b a b a b  
 
.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.
3.运算律：
（1）交换律：
a b b a  
   
；
（2）结合律：
( ) ( )a b c a b c   
 
三、向量的减法运算
1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.
2.运算法则：
在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向
量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.
要点：
（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：
AB AD AB DA DB  
   
，从而用加法法则来解决
减法问题.
（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定
0a a 
 
.
（3）与
AB

长度相等、方向相反的向量，叫做
AB
的相反向量，即
AB BA 
 
.
一、单选题
1．若向量 与 均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．
A．B．C．D．
2．下列说法不正确的是 （ ）
3
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