八年级数学第8讲 多边形和平行四边形（解析版）

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第 8 讲 多边形和平行四边形
多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之
间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了
特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依
据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础．
模块一：多边形
知识精讲
1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．
2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的
顶点．
3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．
4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．
5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，
那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．
6、多边形内角和定理： 边形的内角和等于 ．
7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．
8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，
叫做多边形的外角和．
9、多边形的外角和等于 360°．
例题解析
例 1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则
这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】任意多边形的外角和为 360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：设多边形的边数为 n．根据题意得：（n-2）×180°=360°，
解得：n=4．故选：B．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为 360°
和多边形的内角和公式是解题的关键．
例 2．（2019·上海金山区·八年级期中）八边形的内角和为________度．
【答案】1080
【详解】解：八边形的内角和=
例 3．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是 ，那么这个
多边形的边数是_________．
【答案】14
【分析】n 边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是 n，就得到方
程，从而求出边数．
【详解】解：设这个多边形的边数是 n，则（n-2）•180°=2160°，
解得：n=14．则这个多边形的边数是 14．故答案为：14．
【点睛】本题考查多边行的内角和定理，关键是根据 n 边形的内角和为（n-2）×180°解
答．
例 4．（2019·上海上外附中） 边形的内角和是外角和的三倍，则 _________
【答案】8
【分析】根据“多边形的内角和是外角和的三倍”，结合 边形的内角和公式和多边形的
外角和为 360°，列出关于 的一元一次方程，解之即可．
【详解】解： 边形的内角和为：( 2)×180°−， 边形的外角和为：360°，
根据题意得：( 2)×180°=3×360°−，解得： =8，故答案为：8．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，正确掌握多边形的内角和公式和多边形的
外角和为 360°是解题的关键．
5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）有两个各内角相等的多边形，它们的
边数之比为 1∶2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大 15°，求这两个多边形
的边数．
【答案】12；24.
【分析】设它们的边数分别为 x、2x，根据多边形的内角和公式即可表示出每一个内角的
度数，再根据第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大 15°，即可列方程求解．
【详解】解：设它们的边数分别为 x、2x，由题意得
，解得 ，
经检验 是分式方程的根
答：这两个多边形的边数为 12 和 24.
2
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：
6．（2019·上海八年级课时练习）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为
2570°，求这个内角的度数．
【答案】130°
【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边
数为正整数求解，进而求出多边形的内角和，减去其余的角即可得到结果.
【详解】设这个内角度数为 x°，边数为 n，则（n-2）×180°-x=2570°，
n×180°=2930°+x，即 x＝n×180°﹣2930°，∵0°＜x＜180°，
解得 16.2＜n＜17.2，又∵n 为正整数，∴n=17，
则这个内角度数为 180°×（17-2）-2570°=130°．
【点睛】解此题的关键在于利用内角和公式（n-2）×180°列出等式，再根据多边形内角
的范围得到关于边数 n 的不等式，要注意多边形的边数 n 为正整数，所以在 n 的取值范围
内取正整数即为 n 的值.
例 7.（1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线；
（2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出 6 个三角形，这个多边形共
有__________条对角线．
【难度】★
【答案】（1）2；（2）20．
【解析】（1）多边形的一个顶点可以画 条对角线，所以是 5-3=2 条．
（2）由题意知，一个多边形可以切割成 个三角形，则 =6，由多边形的
对角线条数公式 ，可知这个多边形共有 条对角线．
【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式．
例 8.已知一个多边形的内角和是外角和的 8 倍，且这个多边形的每个内角都相等，求
这个多边形的边数与每个内角的度数．
【难度】★★
【答案】边数是 18，每个内角的度数为 160°．
【解析】因为多边形的外角都是 360°，所以这个多边形的内角和为 360°×8=2880°，
又因为多边形的内角和公式是 ，所以 =2880°，解得： ．
因为每个内角都相等，所以每个内角度数为 2880°÷18=160°.
【总结】考察多边形内角和外角的应用．
例 9.一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为 2750°，这个内角是多少度?这个多
边形有几条边?
3
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