第1章特殊平行四边形《菱形》题型解读1 菱形的定义与性质应用题型-北师大版九年级数学上册

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北师大版九上第一章《菱形》题型全解讲义
题型解读 1-1 菱形的定义与性质应用题型
【知识梳理】
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（既是性质也是判定）
2.性质：
1.边：对边平行且相等（共有）；四边均相等（独有）；
2.角：对角相等、邻角互补（共有）；
3.对角线：互相平分（共有）；互相垂直（独有）；平分对角（独有）。
① 注意：是“平分、垂直”而不是“相等”；
② 菱形的一条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形（共有），
菱形的两条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形（共有）；
③ 面积公式：底×高（共有）；两条对角线乘积的一半（独有），如图：
F
E
A
B
C
D
S
菱形ABCD
=DF
AB=DE
BC
S
菱形ABCD
=
1
2
AC=OD
AC=OA
BD
O
D
C
B
A
4.对称性
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴；
菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
5.菱形常见辅助线
连对角线，
交点是中点也是垂足
作垂直，现Rt
E
A
B
C
D
O
D
C
B
A
【典型例题】
例 1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A
.两组对边分别平行
B
.两组对角分别相等
C
.对角线互相平分
D
. 对角线互相垂直
【解析】对角线垂直是菱形区别于平行四边形的独有性质，选 D
例 2.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点 E，则 OE＝______．
【解析】数学典型模型：“双垂型”的面积用法；利用菱形“对角线垂直”的性质、勾股定理及三角形面积公式
解答。∵菱形的对角线互相垂直平分，∴ OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°．由勾股定理可得 BC＝5．则 OB·OC＝
BC·OE，即 3×4＝5OE．∴OE＝12/5．
o
D
C
E
B
A
例 3 如图，菱形中，对角线
AC
、
BD
交于点
O
，
E
为
AD
边中点，
菱形
ABCD
的周长为 28，则
OE
的长等于____
【解析】利用菱形“四边相等”、“对角线平分”的性质及中位线定理解题.
∵菱形
ABCD
的周长为 28，∴
AB
=28÷4=7，
OB
=
OD
，∵
E
为
AD
边中点，∴
OE
是△
ABD
的中位线，∴
OE
=3.5．
例 4.如图，在菱形
ABCD
中，点
P
是对角线
AC
上的一点，
PE
⊥
AB
于点
E
，若
PE
=3，则点
P
到
AD
的距离为
【解析】利用菱形“对角线平分对角”及角平分线的性质解答
作 PF⊥AD 于点 F，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC 是∠DAB 的角平分线，
∴PF=PE=3，即点
P
到
AD
的距离为 3.
例 5.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别是 AB、BC 边
上的中点，连接 EF，若 EF=√3，BD=4，则菱形 ABCD 的周长为___．
【解析】利用菱形“对角线垂直平分”、“四边相等”的性质及中位线定理解题。
由题易得：EF 是△ABC 的中位线，则 AC=2EF=2√3，由 OA=√3，BO=2，由勾股定理可得 AB=√7，所以菱形的周长
为 4√7。
例 6.如图，四边形 ABCD 是菱形，
8AC
，
6DB
，
ABDH
于 H，则 DH 等于_____
【解析】利用菱形两种求面积的方法列式解题。
∵四边形 ABCD 是菱形，
8AC
，
6DB
，根据菱形的性质可得 OA=4，OB=3，
由勾股定理可得 AB=5，再由菱形面积=AC×BD÷2=AB×DH，即可求出 DH=4.8.
例 7 .如图，菱形 ABCD 的面积为 120，正方形 AECF 的面积为 50，则菱形的边长为_______.
A
B
C
D
E
F
F
E
O
D
C
B
A
【解析】利用菱形“对称性”、“对角线垂直平分”的性质解题。
连结 AC、BD 交于点 O，由对称性知，菱形的对角线 BD 过点 E、F，由菱形性质知，BD⊥AC，∴BD×AC÷2=120①，
又正方形的面积为 50，∴AE＝5√2， AO*2＋EO*2＝50，∴AO＝EO＝5 所以，AC＝10，代入①式，得 BD＝24，∴BO
＝12，由勾股定理可得 AB＝13
A
B
E
C
D
o
F
A
B
C
D
P
P
D
C
B
A
F
B
C
D
A
E
o
H
A
D
C
B
o
2
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