第1章特殊平行四边形《矩形》题型解读4 直角坐标系中的矩形题型-北师大版九年级数学上册

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《矩形》题型解读 4 直角坐标系中的矩形题型
【知识梳理】
1.几何方面：利用好矩形的性质，特别注意边或线的垂直、平分及相等性质的运用；
2.代数方面：利用好点的坐标与线段长的关系，利用好直线平行、垂直、相交情形时对解析式及点的坐标的影响；
【典型例题】
例 1.矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标为（3，4），D 是 OA 的中点，点 E 在
AB 上，当△CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为 _ _____
【思路分析】
△CDE 的周长=CD+DE+CE，由题可求出 CD 的长，所以要周长最小，只需 DE+CE 最小，典型的“将军饮马问题”中的
“两定一动”情形，对称+连接即可找出 E 点的具体位置，再利用直线 CE 的解析式，便可求出 E 点坐标；
【解题过程】如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 H，连接 CH 与 AB 的交点为 E，此时△CDE 的周长最小．
∵D（
3
2
，0），A（3，0），∴H（
9
2
，0），∴直线 CH 解析式为 y=﹣
8
9
x+4，∴x=3 时，y=
4
3
，
∴点 E 坐标（3，
4
3
）
例 2.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OC、OA，分别在 x 轴、y 轴上，点 E 在边 BC 上，将该矩形沿 AE
折叠，点 B 恰好落在边 OC 上的 F 处，若 OA=8，CF=4，则点 E 的坐标是 ．
【思路分析】
要求 E 点坐标，先求 CE，OC 的长，设 E 点坐标，在 Rt△CEF 和 Rt△AOF 中，两次利用“折叠性质+方程思想+勾股
定理”即可求解；
【解题过程】
解：设点 E 的坐标为(a，b)，则 EC=b，OC=-a，∵四边形 ABCO 是矩形，将该矩形沿 AE 折叠，
点 B 恰好落在边 OC 上的 F 处，∴EF=BE=BC-EC=OA-EC=8-b，OF=OC-CF=-a-4，AF=AB=OC=-a，在 Rt△CEF 中，∵
CE2+CF2=EF2
，∴
b2+42=(8− b)2
，解得 b=3．在 Rt△AOF 中，∵
，∴
(− a −4)2+82=(−a)2
解得 a=-10．∴点 E 的坐标为(-10，3)．
例 3.如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A（﹣6，0），C（0，2√3）．将矩形 OABC 绕点 O 顺时针方向旋
转，使点 A 恰好落在 OB 上的点 A1处，则点 B 的对应点 B1的坐标为　 　．
【思路分析】连接 OB1，作 B1H⊥OA 于 H，证明△AOB≌△HB1O，得到 B1H=OA=6，OH=AB=2
√
3
，得到答案．
【解题过程】解：连接 O
B1
，作 B1H⊥OA 于 H，由题意得，OA=6，AB=OC=2
√
3
，由勾股定理可得 OB=4
√
3
，
∴OB=2AB，∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠
B1
OB=∠BOA=30°，∴∠
B1
OH=60°，
在△AOB 和△H
B1
O，∠
B1
HO=∠BAO，∠
B1
OH=∠ABO，O
B1
=OB，∴△AOB≌△H
B1
O，
∴
B1
H=OA=6，OH=AB=2
√
3
，∴点
B1
的坐标为（﹣2
√
3
，6）.
例 4.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AC 平行于 x 轴，边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 30º，OC＝2，
则点 B 的坐标为＿＿＿＿＿
2
F
O
A
B
C
x
y
y
x
E
D
C
B
A
O
【思路分析】利用直角三角形特殊角的边角关系求出 A、C 的坐标，即可得 AC 中点 F 的坐标，利用中点坐标公式，
即可求出点 B 的坐标；
【解题过程】分作 CD、AE 垂直于 x 轴于点
D、E，∵∠AOE=30°，∴∠COD=60°，∠OCD=30°，∴OD=1，CD=√3，∴C 点坐标为（-1，
√
3
），AE=
√
3
，∴OA=2
√
3
，OE=3，∴A 点坐标为（3，
√
3
），∴CA 的中点 F 的坐标为（1，
√
3
），∵F 也是 OB 的中点，∴B 点坐标为
（2，2
√
3
）
例 5.如图，平面直角坐标系中，直线 y=kx+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，P(a,b)是这条直线上一点 ，
a,b(a<b)且是方程
x2−6x+8=0
的两根，Q 是 x 轴上一动点，N 是坐标平面内一点，以点 P、B、Q、N 四点为顶点
的四边形恰好是矩形，则点 N 的坐标为_______
解析： 由题易得 P 的坐标为（2，4），则直线的解析式为
y=3
2x+1
,由于不用书写过程，如果熟悉代数法解特殊
多边形的分类讨论方法的，6 分钟内足够解题（这是目前所知的唯一对所有同学都能在 10 分钟内解决此类压轴题
且拿满分的方法，特别是对图感不是很强，图形想像能力不足的学生，此种方法最适合，唯一要注意的是，计算
要小心）
∵P（2，4），B（0，1），设 Q（m,0）
① 以 PB 为对角线时，中点坐标为（1，2.5），由于该点也是 QN 的中点，由中点坐标公式可得 N（2-m,5），∵四
边形 PBQN 是矩形，∴PB=QN，∴
(2−0)2+(4−1)2=(2m−2)2+(0−5)2
，
(2m− 2)2=−12
，故不存在；
P
B
A
O
y
x
3
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