第1章特殊平行四边形《矩形》题型解读2 矩形的判定题型-北师大版九年级数学上册

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北师大版九上第一章《矩形》题型全解讲义

题型解读 2-2 矩形的判定题型

【知识梳理】

1.从基础图形是四边形的角度判定：

① 四边形+三个直角=矩形；

② 四边形+对角线相等且互相平分=矩形；

2.从基础图形是平行四边形的角度判定：

① 平行四边形+一个直角=矩形；

② 平行四边形+对角线相等=矩形；

2.对不符合特殊四边形的判定中，注意一种特殊图形“筝形”（注意：AC 与 BD 只垂直，并不一定平分）.

【典型例题】

例 1.下列说法正确的是（）

A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分

C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分

【解析】选项 A、C 有可能是筝形，选项 D 中，矩形的对角线相等且互相平分，选 B

例 2.命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题（填“真”或“假”）

【解析】对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故是假命题.

例 3.如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接

EB，EC，DB. 添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是（）

A. AB=BE. B. BE⊥DC. C. ∠ADB=90°. D. CE⊥DE.

【解析】由题易证 DE//BC，且 DE=BC，故四边形 DBCE 是平行四边形，选项 A：AB=BE=DC，对角线相等的平行四边

形是矩形；选项 C ：当 ∠ ADB=90° 时 ∠ BDE=90° ，有一个直角的平行四边形是矩形；选项 D ： CE⊥DE 时

∠CED=90°，有一个直角的平行四边形是矩形；故选 B，对角线垂直的平行四边形是菱形。

例 4.如图，已知平行四边形 ABCD，各个内角的平分线相交于点 E、F、G、H，

连接 EG、FH，猜想 EG 与 FH 的数量关系.

【思路分析】由平行四边形邻角互补及角平分线性质可分别得出∠HEF、∠EFG、∠BHC 是直角，由有三个角是直角

的四边形是矩形可得四边形 EFGH 是矩形，由矩形性质可得 EG=FH；

【解题过程】

∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ ABC+∠BAD=180° ， ∵ AF 、 BH 分别是角平分线， ∴

∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∴∠HEF=90°，同理可得∠EHG=90°，∠EFG=90°，∴四边形 EFGH 是矩形，

∴FH=EG.

例 5.如图，将▱ABCD 的边 AB 延长至点 E，使 AB=BE，连接 DE，EC，DE 交 BC 于点 O，连接 BD．

（1）求证：△ABD≌△BEC；

（2）若∠BOD=2∠A，求证：四边形 BECD 是矩形．

【思路分析】

（1）先由对边平行且相等证四边形 BECD 为平行四边形，再由 SSS 证△ABD≌△BEC；

（2）由四边形 BECD 为平行四边形可得 DE 与 BC 互相平分，由∠BOD=2∠A 及外角定理可得 OB=OE，即 BC=DE，由对

角线相等的平行四边形是矩形进行判定；

【解题过程】（1）在平行四边形 ABCD 中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则 BE∥CD．

又 ∵ AB=BE ， ∴ BE=DC ， ∴ 四边形 BECD 为平行四边形， ∴ BD=EC ． ∴ 在 △ ABD 与 △ BEC 中，

∵AB=BE，BD=EC，AD=BC，∴△ABD≌△BEC（SSS）；

（2）由（1）知，四边形 BECD 为平行四边形，则 OD=OE，OC=OB．∵四边形 ABCD 为平行四边形，

∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，

∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即 BC=ED，∴平行四边形 BECD 为矩形．

例 6.如图所示，△ABC 中，D 是 BC 边上一点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 CE 的延长线于 F，且 AF＝

BD，连接 BF．

(1)求证：D 是 BC 的中点；

(2)若 AB＝AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论．

【思路分析】

（1）由 AAS 证△EAF≌△EDC，可得 AF=DC，由 AF=BD，可得 BD=DC，即 D 是 BC 的中点；

（2）由对边平行且相等可得四边形 AFBD 是平行四边形，由有一个角的平行四边形是矩形可判定；

【解题过程】(1)证明：∵点 E 是 AD 的中点，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．

∴△EAF≌△EDC．∴AF＝DC．∵AF＝BD，∴BD＝DC，即 D 是 BC 的中点．

(2)四边形 AFBD 是矩形．证明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形 AFBD 是平行四边形．

∵AB＝AC，又由(1)可知 D 是 BC 的中点，∴AD⊥BC．∴□AFBD 是矩形．

例 7.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．

（1）求∠DBC 的度数；（2）求证：四边形 OBEC 是矩形．

D C

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