第6章一次方程（组）和一次不等式（组）章节压轴题解题思路分析（解析版）

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第 6 章一次方程（组）和一次不等式（组）章节压轴题
解题思路分析
模块一：一元一次方程及其解法
1.若方程 与关于
x
的方程 的解相同，求
a
的值．
【难度】★★★
【答案】 ．
【解析】方程两边同时乘以 12，可得：
2
(
1−2x
)
+4
(
x+1
)
=12−3
(
2x+1
)
，
去括号可得：
2−4x+4x+4=12−6x−3
，
移项可得：
6x=12−3−2−4
，整理可得：
6x=3
，解得：
x=1
2
．
因为方程 与关于
x
的方程 的解相同，
所以关于
x
的方程 的解为
x=1
2
， 所以
1
2+3−a
3=a
6−3
2
，
两边同时乘以 12 可得：
，
去括号可得：
6+12−4a=2a−18
， 移项可得：
−4a−2a=−18−6−12
，
整理可得：
−6a=−36
， 解得： ．
【总结】考察一元一次方程的解的定义和具体的解法．
2.已知
p
、
q
都是素数，并且以
x
为未知数的一元一次方程 的解是 1，求代数式
的值．
【难度】★★★
【答案】 ．
【解析】因为
x
为未知数的一元一次方程 的解是 1，所以
p+5q=97
，
则
p
和
5q
中必有一个为偶数，当
p=2
，则
5q=95
，即
q=19
，所以
p2−q=22−19=−15
；
当
5q
为偶数，则
q=2
，
p=87
，而 87 不是质数，与题意矛盾，所以 ．
【总结】考察一元一次方程的解的定义和素数的定义．
3.解关于
x
的方程：
ax
=
b
．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】当
a≠0
时，
x=b
a
； 当 时，方程无解；
1
当 时，方程的解为任意数．
【总结】考察含字母系数的一元一次方程的解法，注意分类讨论．
4.已知关于
x
的方程 ，且
a
为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然
数
a
的最小值．
【难度】★★★
【答案】2．
【解析】由原方程可得：
a=9
10 x−142
， 因为
a
为自然数，所以
9
10 x≥142
，解得：
x≥157 7
9
，
因为自然数
a
取最小值，所以
x
应取 160，此时
a=2
，
所以自然数
a
的最小值为 2．
【总结】考察一元一次方程的解法和整除的定义，综合性较强．
5.若
abc
= 1，解方程： ．
【难度】★★★
【答案】
x=1
2
．
【解析】因为
abc
= 1，所以原方程可化为 ，
整理可得： ， 即 ，
因为
abc
= 1，所以 ， 即 ，
整理可得： ， 即 ，
因为 abc = 1，所以 ， 即 ，
整理可得：
2x=1
，解得：
x=1
2
，所以原方程的解为
x=1
2
．
【总结】考察一元一次方程的解法，本题综合性较强，求解时要注意观察分母与分子之间的
关系．
模块二：一元一次方程的应用
1.已知今年甲、乙二人的年龄之和为 50 岁，当甲是乙那么大年龄时，甲的年龄就是乙的年
龄的 2 倍，问今年甲、乙各多少岁？
【难度】★★★
【答案】今年甲 30 岁，乙 20 岁．
【解析】设今年甲
x
岁，则乙
(
50−x
)
岁，当甲是乙那么大年龄时，
2
过去了
50−x−x=50−2x
年，则此时乙的年龄为
50−x+50−2x=100−3x
，
由题意可得：
50−x=2
(
100−3x
)
，解得：
x=30
， 所以 ．
答：今年甲 30 岁，乙 20 岁．
【总结】考察列方程解应用题，注意寻找题目中的等量关系．
2.某机关有
A
、
B
、
C
三个部门，公务员依次有 84 人、56 人、60 人，如果每个部门按相同比
例裁减人员，并使这个机关仅留下公务员 150 人，那么
C
部门留下的人数是多少人？
【难度】★★★
【答案】C 部门留下来 45 人．
【解析】因为
84 : 56 : 60 =21: 14 : 15
设
A、B、C
部门各裁减 人，
由题意可得：
84−21 x+56−14 x+60−15 x=150
， 整理可得：
50 x=50
，解得：
x=1
所以 C 部门裁减 15 人，留下来 45 人．
答：C 部门留下来 45 人．
【总结】考察列方程解应用题，本题综合性较强，要先算出比例再列方程．
3.一个四位数的首位数字是 7，若把首位数字放在个位上，其余数字进一位，那么所得到的
新的四位数比原四位数的一半多 3，求原四位数．
【难度】★★★
【答案】原四位数为 7368．
【解析】设这个数 7 后面的数字为
x
，
由题意可得：
1
2
(
7000+x
)
+3=10 x+7
，
去括号可得：
3500+1
2x+3=10 x+7
，移项整理得：
−9 .5 x=−3493
，解得：
x=368
．
答：原四位数为 7368．
【总结】考察列方程解应用题，本题中要设出合理的未知数．
4.原价每件 100 元的服装 100 套，按照五成利润定价卖出，还剩 30%的服装没有卖掉，降价
后全部卖完，总利润只有预定利润的 88%，问降价后每套服装的售价是多少？
【难度】★★★
【答案】降价后每套服装的售价是 130 元．
【解析】设降价后每套服装的售价是
x
元，
由题意可得：
100×
(
1−0 .3
)
×0 .5×100+100 ×0 .3×
(
x−100
)
=100×100×0 .5×0 . 88
整理可得：
3500+30
(
x−100
)
=4400
，解得：
x=130
，
答：降价后每套服装的售价是 130 元．
【总结】此题也可以分析出答案．解法二：原价每件 100 元的服装按照五成利润定价，则定
价为 150 元，则此时总售价为
150×100=15000
元，而利润为
5000×0 . 88=4400
，差价为
4400−50×70=900
，那么降价后每件利润为
900÷30=30
，则降价后每套服装的售价是 130
3
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