第二十一讲 拱桥问题和运动中的抛物线（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第二十一讲 拱桥问题和运动中的抛物线
【学习目标】
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
【新课讲解】
知识点 1：利用二次函数解决实物抛物线形问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)实际问题。
（2）建立二次函数模型。
（3）利用二次函数的图象和性质求解。
（4）确定实际问题的解。
【例题 1】有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直
角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；
【答案】见解析。
【解析】设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
知识点 2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题
【例题 2】悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间
用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为 900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m,主悬钢索最低
点离桥面的高度为 0.5 m.
(1)若以桥面所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对
应的函数表达式；
1
【答案】见解析。
【解析】根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为 y 轴，设抛物线的函数表达式为 y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a•4502+0.5.
解得
故所求表达式为
(2)计算距离桥两端主塔分别为 100m,50m 处垂直钢索的长.
解：当 x=450－100=350（m）时，得
当 x=450－50=400（m）时，得
拱桥问题和运动中的抛物线过关检测
注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟
1．(8 分)图中是抛物线形拱桥，当水面宽为 4米时，拱顶距离水面 2米；当水面高度下降 1米时，水面宽
2
度为多少米？
【答案】
【解析】建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为 (a≠0).
∵图象经过点（2，-2），
-2=4a∴，
解得： .
∴.
当y=-3 时， .
答：当水面高度下降 1米时，水面宽度为 米.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关
键，难度一般．
2．（8分）抛物线形桥拱的跨度 为 米，拱高为 米，求桥拱的函数关系式．
【答案】 （答案不唯一）．
【解析】以 所在直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系，
3
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