专题19 因旋转产生的角度问题（提优）-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学（解析版）

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专题 19 因旋转产生的角度问题（提优）

1．如图 1，已知 PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．

（1）填空：∠BAN＝　 60 　 °；

（2）如图 1所示，射线 AM 绕点 A开始顺时针旋转至 AN 便立即回转至 AM 位置，射线 BP 绕点 B开始

顺时针旋转至 BQ 便立即回转至 BP 位置．若 AM 转动的速度是每秒 2度，BP 转动的速度是每秒 1度，

若射线 BP 先转动 30 秒，射线 AM 才开始转动，在射线 BP 到达 BQ 之前，射线 AM 转动几秒，两射线互

相平行？

（3）如图 2，若两射线分别绕点 A，B顺时针方向同时转动，速度同题（2），在射线 AM 到达 AN 之前．

若两射线交于点 C，过 C作∠ACD 交PQ 于点 D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC 与

∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN 的度数；

（2）设射线 AM 转动 t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：当 0＜t＜90 时，根据 2t＝

1•（30+t），可得 t＝30；当 90＜t＜150 时，根据 1•（30+t）+（2t180﹣）＝180，可得 t＝110；

（3）设射线转动时间为 t秒，根据∠BAC＝2t120°﹣，∠ BCD＝120°﹣∠BCD＝t60°﹣，即可得出

∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC 和∠BCD 关系不会变化．

【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，

∴∠BAN＝180°

×1

3=¿

60°；

（2）设射线 AM 转动 t秒，两射线互相平行，

①当0＜t＜90 时，如图 1，

∵PQ∥MN，

∴∠PBD＝∠BDA，

∵AC∥BD，

∴∠CAM＝∠BDA，

∴∠CAM＝∠PBD

2∴t＝1•（30+t），

解得 t＝30；

②当90＜t＜150 时，如图 2，

∵PQ∥MN，

∴∠PBD+∠BDA＝180°，

∵AC∥BD，

∴∠CAN＝∠BDA

∴∠PBD+∠CAN＝180°

1•∴（30+t）+（2t180﹣）＝180，

解得 t＝110，

综上所述，射线 AM 转动 30 或110 秒，两射线互相平行；

（3）∠BAC 和∠BCD 关系不会变化．

理由：设射线转动时间为 t秒，

∵∠CAN＝180° 2﹣t，

∴∠BAC＝60°﹣（180° 2﹣t）＝2t120°﹣，

又∵∠ABC＝120°﹣t，

∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，

∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t60°﹣，

∴∠BAC：∠BCD＝2：1，

即∠BAC＝2∠BCD，

∴∠BAC 和∠BCD 关系不会变化．

故答案为：60．

【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思

想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

2．（1）①如图 1，已知 AB∥CD，点 E在直线 AB、CD 之间，探究∠ABE、∠BED、∠CDE 之间的数量关

系，并说明理由．

②将图 1中射线 BA 绕B逆时针方向旋转一定角度后，射线 BA 交射线 DC 于F，得到图 2，形成四边形

BFDE，探究四边形中∠B、∠E、∠D、∠BFD 之间有何数量关系，并说明理由．

（2）在图 3中， AB∥CD ， ∠ ABE 与∠ CDE 的角平分线交于点 N， ∠ABM

¿2

∠ABN ，∠ CDM

¿2

∠CDN，写出∠M与∠E之间数量关系，并说明理由．

【分析】（1）①过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；

②过点 B作GB∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；

（2）由（1）①的结论即可得到结果．

【解答】解：（1）①如图 1，过 E作EF∥AB，

∴∠FEB+∠EBA＝180°，

∵CD∥AB，EF∥AB，

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