专题19 因旋转产生的角度问题（基础）-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学（解析版）

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专题 19 因旋转产生的角度问题（基础）

1．取一副三角板如图①拼接，固定三角板 ADC，将三角形 ABC 绕点 A按照顺时针方向旋转得到△ABC′，

如图②所示，设∠CAC′＝a（0°＜a≤45°）．

（1）当 a＝15°时，求证：AB∥CD；

（2）连接 BD，当 0°＜a≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC 的度数是否变化？若变化，求出变化范围；

若不变，求出其度数．

【分析】（1）求出∠BAC＝30°，得出∠BAC＝∠C＝30°，即可证出 AB∥CD；

（2）连接 CC′，BD，由三角形内角和定理得出∠BDO+∠DBO＝∠OCC′+∠OC′C，得出∠DBC′+∠CAC

′+∠BDC＝∠BDO+∠α+∠DBO＝∠OCC′+∠OC′C+∠α，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BAC′﹣∠CAC′＝45° 15°﹣＝30°，

∴∠BAC＝∠C＝30°，

∴AB∥CD；

（2）当 0°＜a≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC 的度数不发生变化，为 105°；理由如下：

连接 CC′，BD，如图所示：

在△BDO 和△OCC′中，∠BOD＝∠COC′，

∴∠BDO+∠DBO＝∠OCC′+∠OC′C，

∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC＝∠BDO+∠α+∠DBO＝∠OCC′+∠OC′C+∠α＝180° 45° 30°﹣ ﹣ ＝105°，

即当 0°＜a≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC 的度数不发生变化．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的判定和三角形内角和

定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

2．直线 AB∥CD，E、F分别是直线 AB、CD 上的点．

（1）如图 1，若 G是在直线 AB 和直线 CD 内部，在 EF 的右侧一点，证明：∠G＝∠GEB+∠GFD．

（2）如图 2，EF⊥AB，射线 EI 从射线 EB 位置出发，绕着点 E以10 度/秒的角速度顺时针旋转．射线

FH 从射线 FD 位置出发，绕着点 F以15 度/秒的角速度逆时针旋转．两条射线同时出发，当射线 FH 转

完一周的时候两射线同时停止．请问在保证射线 FH 和射线 EI 有交点 G的前提下，过几秒钟时，

∠EGF＝50°？

【分析】（1）过 G作GH∥AB，根据 GH∥AB∥CD，可得∠BEG＝∠HGE，∠DFG＝∠HGF，即可得出

∠EGF＝∠HGE+∠HGF＝∠BEG+∠DFG；

（2）设过 t秒钟时，∠EGF＝50°，分两种情况进行讨论：点 G在EF 右侧，点 G在EF 的左侧，分别根

据平行线的性质以及∠EGF＝50°，列方程求解即可得到 t的值．

【解答】解：（1）如图 1，过 G作GH∥AB，

∵AB∥CD，

∴GH∥AB∥CD，

∴∠BEG＝∠HGE，∠DFG＝∠HGF，

∴∠EGF＝∠HGE+∠HGF＝∠BEG+∠DFG；

（2）设过 t秒钟时，∠EGF＝50°，

由题可得∠BEG＝10t°，∠DFG＝15t°，

如图 2，当点 G在EF 右侧时，

由（1）可得，∠EGF＝∠BEG+∠DFG，

即50°＝10t°+15t°，

解得 t＝2；

如图 3，当点 G在EF 的左侧时，

过G作PG∥AB，

∵AB∥CD，

∴GP∥AB∥CD，

∴∠AEG＝∠PGE，∠CFG＝∠PGF，

∴∠EGF＝∠PGE﹣∠PGF＝∠AEG﹣∠CFG，

又∵∠AEG＝180° 10﹣t°，∠CFG＝15t° 180°﹣，

50°∴＝（180° 10﹣t°）﹣（15t° 180°﹣），

解得 t＝12.4，

综上所述，过 2秒或 12.4 秒时，∠EGF＝50°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，

同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线，构造内错角以及同旁内角．

3．取一副三角板按图①拼接，固定三角板 ADC（∠ACD＝30°），将三角板 ABC（∠ACB＝45°）绕点 A

依顺时针方向旋转一定的角度得到△ABC′，请问：

（1）如图②，当∠CAC′＝15°时，请你判断 AB 与CD 的位置关系，并说明理由；

（2）如图③，当∠CAC′为多少度时，能使 CD∥BC′？（直接回答，不用证明）

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