专题18.13 《平行四边形》之几何模型-将军饮马（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 18.13 《平行四边形》之几何模型-将军饮马（知识讲
解）
几何模型 1：两定一动型（两点之间线段最短）
P
B
A
图一 图二
几何模型 2：两动一定型（两点之间线段最短）
M
N
P''
P'
N
M
P
O
O
P
B
此处 M、N均为折点，分别作点 P关于 OA（折点 M所在直线）、OB（折点 N
所在直线）的对称点，化折线段 PM+MN+NP 为P’M+MN+NP’’，当
P’、M、N、P’’共线时，△PMN 周长最小．
几何模型 3（1）：两定两动型（两点之间线段最短）
在OA、OB 上分别取点 M、N使得四边形 PMNQ 的周长最小。
1
Q'
P'
M
N
B
A
P
O
Q
Q
O
P
A
B
N
M
考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点
P、Q关于 OA、OB 对称，化折线段 PM+MN+NQ 为P’M+MN+NQ’，当
P’、M、N、Q’共线时，四边形 PMNQ 的周长最小。
几何模型 3（2）：两定两动型（将军过桥）（两点之间线段最短）
图 1 图 2 图 3
【将军过桥】
已知将军在图 1中点 A处，现要过河去往 B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，
问：桥建在何处能使路程最短？
考虑 MN 长度恒定，只要求 AM+NB 最小值即可．问题在于 AM、NB 彼此分离，
所以首先通过平移，使 AM 与NB 连在一起，将 AM 向下平移使得 M、N重合，
此时 A点落在 A’位置（如图 2）．
问题化为求 A’N+NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置
（如图 3）．
几何模型 4：一定两动型（点线之间垂线段最短）
在OA、OB 上分别取 M、N使得 PM+MN 最小。
2
P'
M
N
B
A
P
O
O
P
A
B
N
M
此处 M点为折点，作点 P关于 OA 对称的点 P’，将折线段 PM+MN 转化为
P’M+MN，即过点 P’作OB 垂线分别交 OA、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值
（点到直线的连线中，垂线段最短）
例题讲解：
几何模型 1：两定一动型（两点之间线段最短）
1 （2020·内蒙古包头市·包头外国语实验学校八年级期中）如图，四边形
OABC 为正方形，边长为 10，点 A，C分别在 x轴、y轴的正半轴上，点 D在
OA 上，且 D点的坐标为（4，0），P是OB 上的一个动点，则 PD＋PA 的最小
值是_____．
【答案】 .
解：作出 D关于 OB 的对称点 D′，则 D′的坐标是（0，4）．则 PD+PA 的最小
值就是 AD′的长．
3
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