《中考数学一轮复习精讲+热考题型》专题54 几何图形中线段的最值问题（原卷版）

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专题 54 几何图形中线段的最值问题（15 题）

1．（2020·山东威海市·中考真题）发现规律：

（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．

求的度数

（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．

若，，求的度数

应用结论：

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，

连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小

值

2．（2020·重庆中考真题）如图，在中，，，点 D是BC 边上一动点，

连接 AD，把 AD 绕点 A逆时针旋转 90°，得到 AE，连接 CE，DE．点 F是DE 的中点，连接 CF．

（1）求证：；

（2）如图 2所示，在点 D运动的过程中，当时，分别延长 CF，BA，相交于点 G，猜想 AG 与

BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点 D运动的过程中，在线段 AD 上存在一点 P，使的值最小．当的

值取得最小值时，AP 的长为 m，请直接用含 m的式子表示 CE 的长．

3．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，正方形的边长为，为的中点，为等边

三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上

运动，且满足，连接．

（1）求证：．

（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说

明理由．

（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并

说明理由．

4．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，菱形的边长为 1，，点 E是边上任意一

点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点 F，G，，的中点分别为 M，N．

（1）求证：；

（2）求的最小值；

（3）当点 E在上运动时，的大小是否变化？为什么？

5．（2020·广东深圳市·中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放

（点 E，A，D在同一条直线上），发现 BE=DG 且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解

答：

（1）将正方形 AEFG 绕点 A按逆时针方向旋转，（如图 1）还能得到 BE=DG 吗？如果能，请给出证明．

如若不能，请说明理由：

（2）把背景中的正方形分别改为菱形 AEFG 和菱形 ABCD，将菱形 AEFG 绕点 A按顺时针方向旋转，（如

图2）试问当∠EAG 与∠BAD 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 BE=DG 仍成立？请说明理由；

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