《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题09 背靠背模型解直角三角形(基础训练)(解析版)

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专题 09 背靠背模型解直角三角形
【模型展示】
【中考真题】
1、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距
离（AB）是 1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角 板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端 M在
同一条直线上，测得旗杆顶端 M仰角为 45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是 1.5m，用同样的方法测
得旗杆顶端 M的仰角为 30°．两人相距 28 米且位于旗杆两侧（点 B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆
MN 的高度．（参考数据：
√
2≈1 . 4
，
√
3≈1 .7
，结果保留整数．）
解： 过点 A作AE MN⊥于E，
过点 C作CF MN⊥于F ……………………1 分
1
则EF=
AB −CD=1 .7−1. 5
=0.2 ……………2 分
在Rt AEM△中，
MAE=45°∵∠ ，∴AE=ME …………………………………3 分
设AE=ME=
x
（不设参数也可）[来源:Z_xx_k.Com]
MF=∴
x
＋0.2，CF=28
−x
…………………………………………………………………4 分
在Rt MFC△中，∠MFC=90°，∠MCF=30°
MF=CF·tan MCF ……………………………………………………………………5∴ ∠ 分
∴
…………………………………………………………………… 6 分
∴
x≈¿ ¿
10.0　 ………… ………………………………………………………………………7分
MN∴
¿
12 ……………………………………………………………………………………8 分
答：旗杆高约为 12 米．
【精典例题】
1、由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于 2018 年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，
航母由西向东航行，到达 A处时，测得小岛 B位于它的北偏东 30°方向，且与航母相距 80 海里，再航行一
段时间后到达 C处，测得小岛 B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离 BC 的长．
解：过点 B作BD AC⊥ 于点 D，
由题意得∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80.
在Rt ADB△ 中，∠BAD＝60°，
BD∴ ＝AB·sin60°＝40.
在Rt BCD△ 中，∠BCD＝45°，
BC∴ ＝＝40.
答：BC 的长为 40 海里．
2、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 AB 的高度，站在教学楼的 C处测得旗杆底端 B的俯
角为 45°，测得旗杆顶端 A的仰角为 30°.若旗杆与教学楼的距离为 9 m，则旗杆 AB 的高度是__3 ＋ 9 __m(结
果保留根号)．
2
3、放置在水平桌面上的 台灯的平面示意图如图所示，灯臂 AO 长为 40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM
为75°.由光源 O射出的边缘光线 OC，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA 分别为 90°和30°，求该
台灯照亮 水平面的宽度 BC.(不考虑其他因素，结果精确到 0.1cm.温馨提示：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，
≈1.73)
解：在 Rt△ACO 中，sin 75°＝＝≈0.97，
解得 OC≈38.8 cm.
在Rt△BCO 中，tan 30°＝≈≈，
解得 BC≈67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 大约是 67.3 cm.
4、如图，A，B两市相距 150km，国家级风景区中心 C位于 A市北偏东 60°方向上，位于 B市北偏西 45°方
向上．已知风景区是以点 C为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划
修建连接 A，B两市的高速公路，高速公路 AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：
≈1.73）
解：高速公路 AB 不穿过风景区．过点 C作CH⊥A B 于点 H，如图所示．
根据题意， 得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，
3
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