《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题31 面积的存在性问题（原卷版）

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专题 31 面积的存在性问题
一、固定面积的存在性问题
【知识讲解】
1、 知识内容：
固定面积的存在性问题最为简单，在待求图形中，往往只有一个是变量，此时只需通过方程将其解出
即可．
2、 解题思路：
（1） 根据题目条件，求出相应的固定面积；
（2） 找到待求图形合适的底和高；
（3） 列出方程，解出相应变量；
根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．
【例题讲解】
1、如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（8，0），点 B在y轴的正半轴上，且
，抛物线 经过 A、B两点．
（1）求 b、c的值；
（2）过点 B作CB⊥OB，交这个抛物线于点 C，以点 C为圆心，CB 为半径的圆记作
⊙C，以点 A为圆心，r为半径的圆记作⊙A．若⊙C与⊙A外切，求 r的值；
（3）若点 D在这个抛物线上， 的面积是 面积的 8倍，求点 D的坐标．
【解析】（1）∵A点坐标为（8，0）， ，
∴OB = 6，∴B点坐标为（0，6）．
A
B
x
y
O
1
将A、B两点坐标代入解析式 ，
解得： ， ；
（2）∵CB⊥OB，∴C点坐标为（5，6）．
∴⊙C的半径为 5， ．
∴；
（3）设 D点横坐标为 d，由题意可得， ．
∴．
又∵ ， ∴ ．
∴D点坐标为 或 ．
【总结】本题是二次函数的综合型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，利用外切间的数量关系确
定圆的半径，在第（3）问中，要注意分类讨论．
2、如图，二次函数的图像过点 A（ ，0）、B（0，6），对称轴为直线 ，顶点
为C，点 B关于直线 的对称点为 D．
（1）求二次函数的解析式以及点 C和点 D的坐标；
（2）联结 AB、BC、CD、DA，点 E在线段 AB 上，联结 DE，若 DE 平分四边形 ABCD 的面积，求 AE 的
长；
（3）在二次函数的图像上是否存在点 P，能够使 ？如果存在，请求出点
P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵二次函数过（ ，0）对称轴为 ，
2
∴二次函数过点（2，0）．
设二次函数为 ，将 B（0，6）代入，
解得二次函数解析式为： ．
（2）顶点 C的坐标为（ ，8），点 D的坐标为（ ，6），
连接 BD，则 ．
∵AB 的解析式为 ， ∴设E点为（e-6，e）．
∴．
∴e = 4．∴E点坐标为（ ，4）．∴AE 长为 ．
（3）分情况讨论．
①若P在抛物线 AC 段上，由题意，则有 PC // AB．
∴PC 解析式为 ，可解得 P点坐标为（ ，6）．
②若P不在抛物线 AC 段上，设 PC 与AB 交于 M．
由题意，得 CM = AM．设 M点坐标为（m，m+6），
∴．
解得： ， ∴M点坐标为 ．
∴直线 CP 解析式为： ．
∴，解得： （C点，舍）或 ．
y
C
B
D
AO
2
2
－2x
3
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