《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题54 巧作三线合一构造全等三角形(原卷版)

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专题 54 巧作三线合一构造全等三角形

【专题说明】

三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分

线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

【模型展示】

如右图，在中，

①若AB=AC, ,则,

②若AB=AC, ,则, ;

③若AB=AC, ,则, ;

④ 若 , ,则AB=AC, ;

⑤ 若 , ,则, , AB=AC;

⑥ 若 , ,则AB=AC, ;

等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这

条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中，虽然顶角的平分

线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分

线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。

【精典例题】

1.如图,已知房屋的顶角∠BAC=100∘，过屋顶 A的立柱 AD⊥BC，屋椽 AB=AC，求顶架上

∠B、∠C、∠BAD、∠CAD 的度数。

2.如图，在△ABC 中，AB=AC，AD=DB=BC，DE⊥AB 于点 E，若 CD=4，且△BDC 的周长为 24，求 AE 的

长。

3.已知：三角形 ABC 中,∠A=90∘，AB=AC，D为BC 的中点，如图，E，F分别是 AB，AC 上的点，且

BE=AF，求证：△DEF 为等腰直角三角形。

4.如图，△ABC 中，AC=2AB，AD 平分∠BAC 交BC 于D，E是AD 上一点，且 EA=EC，求证：EB⊥AB.

5.如图，已知在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，BF 平分∠ABC，CD BF⊥交BF 的延长

线于点 D.求证：BF=2CD.

6.如图，在△ABC 中，AD BC⊥于点 D，且∠ABC=2 C.∠

求证：CD=AB+BD.

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