《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题60 四边形中作辅助线造全等(原卷版)

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专题 60 四边形中作辅助线造全等

1、已知：矩形 ABCD 中，点 E、F为对角线 AC 上两点，AF＝CE．

（1）如图 1，求证：BE∥DF；

（2）如图 2，当 AB＝BE＝AD 时，连接 DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三

角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的．

2、如图 1，在正方形 ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段 BC 上一点，连接

AP，过点 B作BQ⊥AP，交 CD 于点 Q，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC′，延长 QC′交AD

于点 N．

（1）求证：BP＝CQ；

（2）若 BP＝PC，求 AN 的长；

（3）如图 2，延长 QN 交BA 的延长线于点 M，若 BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为 S，求 S与x之

间的函数关系式．

3、如图 1，已知正方形 ABCD，E是线段 BC 上一点，N是线段 BC 延长线上一点，以 AE 为边在直线 BC 的

上方作正方形 AEFG．

（1）连接 GD，求证 DG＝BE；

（2）连接 FC，求 tan∠FCN 的值；

（3）如图 2，将图 1中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段 BC 上一动点（不含端

点B，C），以 AE 为边在直线 BC 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G恰好落在射线 CD 上．当点 E由B向

C运动时，判断 tan∠FCN 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

4、【操作发现】

如图①，在正方形 ABCD 中，点 N、M分别在边 BC、CD 上，连结 AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将

△AMD 绕点 A顺时针旋转 90°，点 D与点 B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得

DM+BN＝MN．

【实践探究】

（1）在图①条件下，若 CN＝3，CM＝4，则正方形 ABCD 的边长是　　．

（2）如图②，点 M、N分别在边 CD、AB 上，且 BN＝DM．点 E、F分别在 BM、DN 上，∠EAF＝

45°，连接 EF，猜想三条线段 EF、BE、DF 之间满足的数量关系，并说明理由．

【拓展】

（3）如图③，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点 M、N分别在边 DC、BC 上，连结 AM，AN，已知

∠MAN＝45°，BN＝1，求 DM 的长．

5、已知四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且 AB＞CE．

（1）如图 1，连接 BG、DE．求证：BG＝DE；

（2）如图 2，如果正方形 CEFG 绕点 C旋转到某一位置恰好使得 CG∥BD，BG＝BD．

①求∠BDE 的度数；

②若正方形 ABCD 的边长是，请求出△BCG 的面积．

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