《人教版九年级数学上册教学案》22.1二次函数的图像和性质（学生版）

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22.1 二次函数的图像和性质
教学目标：1．熟练掌握二次函数的有关概念．
2．熟练掌握二次函数 y＝ax2的性质和图象．
3．掌握并灵活应用二次函数 y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的性质及图象．
4．掌握并灵活应用二次函数 y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象．
5．能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式．
教学重难点：图形和性质的应用，及两种形式的转化，解析式求解
知识点一：二次函数的概念
（1）二次函数的定义：一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中
x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是
常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然
后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为 0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
例题．下列函数中，二次函数是（　　）
A．y= 4x+5﹣B．y=x（2x 3﹣ ） C．y=（x+4）2x﹣2D．y=
变式 1．圆的面积公式 S=πR2中，S与R之间的关系是（　　）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
变式 2．下列函数中，y关于 x的二次函数的是（　　）
A．y=x3+2x2+3 B．y=﹣C．y=x2+x D．y=mx2+x+1
1
知识点二：二次函数 y＝ax2的性质和图象
（1）二次函数 y=ax2（a≠0）的图象的画法：
① 列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取 x值，求出函数值，列表．
② 描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③ 连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④ 在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各
取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．
画抛物线 y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称
性画另一侧．
例题．下列图象中，是二次函数 y=x2的图象的是（　　）
A．B．C．D．
变式 1．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① y=a1x2；② y=a2x2；③ y=a3x2，则 a1，a2，a3的
大小关系是（　　）
A．a1＞a2＞a3B．a1＞a3＞a2C．a3＞a2＞a1D．a2＞a1＞a3
变式 2．下列图象中，当 ab＞0时，函数 y=ax2与y=ax+b 的图象是（　　）
2
A．B．C．D．
知识点三：二次函数 y＝ax2＋k的性质和图象
例题．函数 y= +1 与y= 的图象的不同之处是（　　）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
变式 1．在直角坐标系中，函数 y=3x 与y= x﹣2+1 的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
变式 2．在同一坐标系中，一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=bx2+a 的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
知识点四：二次函数 y＝a(x－h)2的性质及图象
例题．与函数 y=2（x 2﹣ ）2形状相同的抛物线解析式是（　　）
变式 1．在平面直角坐标系中，函数 y= x+1﹣ 与 y=﹣ （x 1﹣ ）2的图象大致是（　　）
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