《人教版九年级数学上册教学案》24.2.1 点和圆、直线和圆的位置关系讲义 教师版

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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
教学目标：
1、理解点和圆的位置关系，掌握点到圆心和距离与半径之间的关系。
2、了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法。
3、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系
教学重难点：切线的证明、外心的应用
知识点一：点和圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有 3种．设⊙O的半径为 r，点 P到圆心的距离 OP=d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d=r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定
该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．⇔ ⇔
例题．如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，已点 C为圆心作⊙C，半径为 r．
（1）当 r取什么值时，点 A、B在⊙C外？
（2）当 r取什么值时，点 A在⊙C内，点 B在⊙C外．
【分析】（1）若点 A、B在⊙C外，则 AC＞r即可；
（2）点 A在⊙C内，点 B在⊙C外，则 AC＜r＜BC 即可．
1
【解答】解：（1）若点 A、B在⊙C外，则 AC＞r，
AC=3∵，
r∴＜3，
（2）如点 A在⊙C内，点 B在⊙C外，则 AC＜r＜BC，
AC=3∵，BC=4，
3∴＜r＜4．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当
d＞r时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 d＜r时，点在圆内．
　
变式 1．如图，在 Rt ABC△中，∠C=90°，CD AB⊥，AB=13，AC=5，以点 C为圆心， 为半径的圆和点
A，B，D的位置关系是怎样的？
【分析】先利用勾股定理计算出 BC=12，再利用面积法计算出 CD，然后根据点与圆的位置关系的判定方
法进行判断．
【解答】解：在 Rt ACB△中，∵AB=13，AC=5，
BC=∴=12，
∵•CD•AB= BC•AC，
2
CD=∴=，
BC∵＞CD，AC＞CD，
A∴点和 B点在以点 C为圆心， 为半径的圆外，D点在以点 C为圆心， 为半径的圆上．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为 r，点 P到圆心的距离 OP=d，则有点 P在圆外⇔d
＞r；点 P在圆上⇔d=r；点 P在圆内⇔d＜r．
　
变式 2．在△ABC 中，∠BCA=90°，∠B=30°，AB=5cm，CD 为斜边 AB 的中线，以点 D为圆心，DC 长为
半径画⊙D，试说明点 A、B、C与⊙D的位置关系．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判断 DA、DB 与DC 的数量关系，根据点与圆的位
置关系的判断方法进行判断即可．
【解答】解：∵∠BCA=90°，CD 为斜边 AB 的中线，
DA=DB=DC∴，
∴点A、B、C都在以点 D为圆心，DC 长为半径画⊙D上．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当
d＞r时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 d＜r时，点在圆内．
　
知识点二：圆的确定
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
3
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