《人教版九年级数学上册教学案》24.1.2 垂直于弦的直径讲义 教师版

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24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
教学目标：掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论．
教学重难点：垂径定理的综合应用
知识点一：圆的轴对称性
圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
例题．下列命题中，正确的是（　　）
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴
【分析】根据圆的有关基本概念，结合图形，逐一判断．
【解答】解：A，圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，有无数条，错误；
B，结合上一条分析可知，圆的对称轴有无限条，错误；
C，对称轴为直线，直径只是线段，错误；
D，结合上述分析可知，此项正确．
故选 D．
【点评】本题考查了圆的对称性知识及对称的概念，正确理解其含义是解题的关键．
　
变式 1．下列语句中，不正确的是（　　）
A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形
1
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．当圆绕它的圆心旋转 89°57′时，不会与原来的圆重合
D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
【分析】根据圆是轴对称图形的性质，以及圆的旋转不变性即可求解．
【解答】解：A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对
称图形，正确；
B、正确；
C、根据 A知错误；
D、任意过圆心的直线都是圆的对称轴，有无数条，对称中心即是圆心，有一个，正确．
故选 C．
【点评】理解圆的对称性是解题的关键．
　
变式 2．下列结论正确的是（　　）
A．经过圆心的直线是圆的对称轴
B．直径是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与直径相交的直线是圆的对称轴
【分析】利用直径所在的直线为圆的对称轴对各选项进行判断．
【解答】解：A、经过圆心的直线是圆的对称轴，所以 A正确；
B、直径所在的直线为圆的对称轴，所以 B错误；
C、与圆相交的直线不一定是圆的对称轴，所以 C错误；
D、与直径相交的圆心的直线是圆的对称轴，所以 D错误．
2
故选 A．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、
等弧等）．
知识点二：垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
例题．如图，AB 是⊙O的弦，半径 OC AB⊥于点 D，若⊙O的半径为 5，AB=8，则 CD 的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据垂径定理由 OC AB⊥得到 AD= AB=4，再根据勾股定理开始出 OD，然后用 OC OD﹣ 即可
得到 DC．
【解答】解：∵OC AB⊥，
AD=BD=∴AB= ×8=4，
在Rt OAD△中，OA=5，AD=4，
3
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