《人教版九年级数学上册教学案》22.2 二次函数与一元二次方程 学案 学生版

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22.2 二次函数与一元二次方程
教学目标：1．理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与 x轴的交点与一元二次方程两根之间的
联系，灵活运用相关概念解题．
教学重难点：灵活掌握二次函数图像和数形结合思维应用。
知识点一：二次函数 y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 的关系
例题：已知关于 x的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1=a，x2=b（a＜b），则
二次函数 y=x2+mx+n 中，当 y＜0时，x的取值范围是（　　）
A．x＜a B．x＞b C．a＜x＜b D．x＜a或x＞b
2．若二次函数 y=ax22ax+c﹣ 的图象经过点（﹣1，0），则方程 ax22ax+c=0﹣ 的解为　 　．
3．函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x的方程 ax2+bx+c 3=0﹣ 的根的情况是
．
知识点二：用图像法估算一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与 y=h 的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
例题：二次函数 y= x﹣2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x=2，若关于 x的一元二次方程﹣
x2+mx t=0﹣ （t为实数）在 1＜x＜5的范围内有解，则 t的取值范围是（　　）
1
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
2．已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y与自变量 x的部分对应值如表，则方程 ax2+bx+c=0
的一个解的范围是（　　）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y 0.03﹣0.01﹣0.02 0.04
A．﹣0.01＜x＜0.02B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
3．在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，
直线 x=1 是它的对称轴．若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根 x1的取值范围是 2＜x1＜3，则
它的另一个根 x2的取值范围是　 　．
拓展点一：求抛物线与坐标轴的公共点坐标
求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与 x轴的交点坐标，令 y=0，即 ax2+bx+c=0，解关于 x的
一元二次方程即可求得交点横坐标．
求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与 y轴的交点坐标，令 x=0，即 y=c，即可求得交点纵坐
标．
2
例题：已知二次函 数 y=x25x+m﹣ 的图象与 x轴有两个交点，若其中一个交点的 坐标为
（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）
2．关于 x的方程（x 3﹣ ）（x 5﹣ ）=m（m＞0）有两个实数根 α，β（α＜β），则下列选项正
确的是（　　）
A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5
3．若二次函数 y= x﹣2+bx+c 与x轴有两个交点（m，0），（m 6﹣ ，0），该函数图象向下平
移n个单位长度时与 x轴有且只有一个交点，则 n的值是（　　）
A．9 B．6 C．3 D．36
拓展点二：抛物线与 x轴公共点个数的关系
二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac 决定抛物线与 x轴的交点个数．
=b△2-4ac＞0时，抛物线与 x轴有 2个交点；
=b△2-4ac=0 时，抛物线与 x轴有 1个交点；
=b△2-4ac＜0时，抛物线与 x轴没有交点．
例 题 ： 若 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2+bx+c=0 的 两 个 根 分 别 为 x1=1 ，x2=2 ， 那 么 抛 物 线
y=x2+bx+c 的对称轴为直线（　　）
A．x=1 B．x=2 C．x= D．x=﹣
2．二次函数 y=x22x 3﹣ ﹣ 与 x轴交点的个数为（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的
判别式为△=b24ac﹣ ，则下列四个选项正确的是（　　）
3
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