《七年级数学下册期中期末考点大串讲(浙教版)》专题12 正方形的性质与判定（知识点串讲）（原卷版）

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专题 12 正方形的性质与判定
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重难突破
知识点一 正方形的性质
正方形：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。
性质：①边：四条边都相等； ②角：四角相等；
③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为 450；
④对称性：轴对称图形（4条）．
【典例 1】（2019 春•萧山区期末）如图，在正方形 ABCD 中，E，F分别为 AB，AD 上的点，且 AE＝AF，
点M是EF 的中点，连结 CM．
（1）求证：CM⊥EF．
（2）设正方形 ABCD 的边长为 2，若五边形 BCDFE 的面积为 ，请直接写出 CM 的长．
【变式训练】
1．（2018 春•丽水期末）如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为一边向内作等边△ABE，连结 DE，则∠BED 的
度数为（　　）
1
A．120° B．125° C．135° D．150°
2．（2019 春•余杭区期末）如图，在正方形 ABCD 中，点 E是边 BC 上的一个动点（不与点 BC 重合），
AE 的垂直平分线分别交 AB，CD 于点 G，F．若 CF＝6DF，则 BE：EC 的值为（　　）
A．B．C．D．
3．（2019 春•温岭市期末）如图，E、F分别是正方形 ABCD 边AD、BC 上的两定点，M是线段 EF 上的一
点，过 M的直线与正方形 ABCD 的边交于点 P和点 H，且 PH＝EF，则满足条件的直线 PH 最多有（
）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2019 春•海曙区期末）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在 AB，BC 边上，ED 平分∠AEF．
（1）求证：EF＝AE+CF．
（2）若 AE＝2，CF＝3，求△DEF 的面积．
2
知识点二 正方形的判定
正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．
① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形
② 有一组邻边相等 的矩形； ③ 对角线互相垂直 的矩形．
④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形；
【典例 2】（2018 春•富阳区期末）如图，在线段 AB 的同侧作射线 AC 和BD，当 AC∥BD 时，若∠CAB 与
∠DBA 的角平分线分别交射线 BD，AC 于点 E，F，两条角平分线相交于点 P，连接 EF．
（1）试判断四边形 ABEF 的形状并给予证明；
（2）若 AB＝BF＝2，在线段 AE 上取一点 G，点 G关于点 P的对称点为点 H，问线段 AG 的长为多少时？
以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．
【变式训练】
1．（2019•宁波模拟）下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
D．邻边相等的矩形是正方形
2．（2019 春•西湖区校级月考）如图，平行四边形 ABCD 中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，点
M、N分别以 A、C为起点，1cm/秒的速度沿 AD、CB 边运动，设点 M、N运动的时间为 t秒（0≤t≤6）
（1）求 BC 边上高 AE 的长度；
（2）连接 AN、CM，当 t为何值时，四边形 AMCN 为菱形；
（3）作 MP⊥BC 于P，NQ⊥AD 于Q，当 t为何值时，四边形 MPNQ 为正方形．
3
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