《七年级数学下册期中期末考点大串讲(浙教版)》专题12 正方形的性质与判定（知识点串讲）（解析版）

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专题 12 正方形的性质与判定
知识网络
重难突破
知识点一 正方形的性质
正方形：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。
性质：①边：四条边都相等； ②角：四角相等；
③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为 450；
④对称性：轴对称图形（4条）．
【典例 1】（2019 春•萧山区期末）如图，在正方形 ABCD 中，E，F分别为 AB，AD 上的点，且 AE＝AF，
点M是EF 的中点，连结 CM．
（1）求证：CM⊥EF．
（2）设正方形 ABCD 的边长为 2，若五边形 BCDFE 的面积为 ，请直接写出 CM 的长．
【点拨】（1）连接 CF，由正方形的性质得到 AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠B＝∠D＝90°，根据全等
三角形的性质得到 CE＝CF，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接 AM，根据等腰直角三角形的性质得到 AM⊥EF，推出 A，M，C三点共线，求得△AEF 的面
1
积＝ ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接 CF，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠B＝∠D＝90°，
∵AE＝AF，
∴BE＝DF，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE＝CF，
∵点M是EF 的中点，
∴CM⊥EF；
（2）解：连接 AM，
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∵点M是EF 的中点，
∴AM⊥EF，
∴A，M，C三点共线，
∵正方形 ABCD 的边长为 2，
∴正方形 ABCD 的面积＝4，
∵五边形 BCDFE 的面积为 ，
∴△AEF 的面积＝ ，
∴AM•EF＝AM•2AM＝ ，
∴AM＝ ，
∵AC＝AB＝2，
2
∴CM＝ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．（2018 春•丽水期末）如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为一边向内作等边△ABE，连结 DE，则∠BED 的
度数为（　　）
A．120° B．125° C．135° D．150°
【点拨】在正方形 ABCD 中，△ABE 是等边三角形，可求出∠AEB、∠DAE 的大小以及推断出 AD＝
AE，从而可求出∠AED，再根据角的和差关系求出∠BED 的度数．
【解析】解：如图，在正方形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵△ABE 是等边三角形，
∴∠AEB＝∠BAE＝60°，AE＝AB，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝ （180°﹣30°）＝75°，
∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝60°+75°＝135°．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质．根据正方形和等边三角形的性质推知 AD＝AE
是解题的关键．
2．（2019 春•余杭区期末）如图，在正方形 ABCD 中，点 E是边 BC 上的一个动点（不与点 BC 重合），
AE 的垂直平分线分别交 AB，CD 于点 G，F．若 CF＝6DF，则 BE：EC 的值为（　　）
3
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