《七年级数学下册期中期末考点大串讲(浙教版)》专题11 菱形的性质与判定（知识点串讲）（解析版）

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专题 11 菱形的性质与判定
知识网络
重难突破
知识点一 菱形的性质
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等）
性质：①边：四条边都相等；
② 角：对角相等、邻角互补；
③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；
④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．
【典例 1】（2019 春•余杭区期末）如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E
（1）若∠BAE＝30°，AE＝3，求菱形 ABCD 的周长．
（2）作 AF⊥CD 于点 F，连结 EF，BD，求证：EF∥BD．
（3）设 AE 与对角线 BD 相交于点 G，若 CE＝4，BE＝8，四边形 CDGE 和△AGD 的面积分别是 S1和
S2，求 S1﹣S2的值．
【点拨】（1）由直角三角形的性质和勾股定理得出 BE＝AB，BE2+AE2＝AB2，求出 AB＝2，即可
得出结果；
1
（2）证明△ABE≌△ADF，得出 BE＝DF，证出 CE＝CF，由等腰三角形的性质得出∠CEF＝∠CBD＝
（180°﹣∠C），即可得出结论；
（3）连接 CG，证明△ADG≌△CDG，得出 AG＝CG，△ADG 和△CDG 的面积相等，得出 S1﹣S2＝
S△CGE，AB＝BC＝CE+BE＝12，由勾股定理得出 AE＝ ＝4，设 EG＝x，则 AG＝CG＝4
﹣x，由勾股定理得出方程，求出 EG＝ ，即可得出结果．
【解析】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，
∴BE＝AB，BE2+AE2＝AB2，
∵AE＝3，
∴（AB）2+32＝AB2，
解得：AB＝2，
∴菱形 ABCD 的周长＝2 ×4＝8；
（2）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD＝BC＝CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE 和△ADF 中， ，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CBD＝ （180°﹣∠C），
∴EF∥BD；
（3）解：连接 CG，如图所示：
∵四边形 ABCD 是菱形，
2
∴∠ADG＝∠CDG，AD＝CD，
在△ADG 和△CDG 中， ，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG，△ADG 和△CDG 的面积相等，
∴S1﹣S2＝S△CGE，
AB＝BC＝CE+BE＝4+8＝12，
∵AE⊥BC，
∴AE＝ ＝ ＝4，
设EG＝x，则 AG＝CG＝4﹣x，
∵AE⊥BC，
∴EG2+EC2＝CG2，即：x2+42＝（4﹣x）2，
解得：x＝ ，即 EG＝ ，
∴S1﹣S2＝S△CGE＝CE•EG＝×4× ＝ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定 、
勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020•香坊区模拟）在菱形 ABCD 中，对角线 BD＝4，∠BAD＝120°，则菱形 ABCD 的周长是（
）
A．15 B．16 C．18 D．20
【点拨】作出图形，连接 AC、BD，根据菱形的对角线互相垂直平分可得 AC⊥BD，OB＝BD，菱形
的对角线平分一组对角求出∠BAO＝60°，再求出 AB，然后根据菱形的周长等于边长的 4倍计算即可得
解．
3
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